Chủ đề này có 15 trả lời

[Minhnguyenquang75]

Trong chương trình Toán THCS các bạn được học và làm quen với nhiều loại pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ. Bài viết này giúp các bạn có thêm 1 số phương pháp cơ bản để xét pt loại này:

Phương pháp 1: Chia khoảng trên trục số
Ta xét dấu các biểu thức trong dấu GTTĐ để khử dấu gttđ
VD1: Giải pt:
$ |2x-1|+|2x-5|=4--(1) $
Giải:
Ta lập bảng khử dấu gttđ:

Từ đó ta xét 3 trường hợp sau:
- Xét $x< \dfrac{1}{2}$
(1) trở thành $-4x+6=4\Leftrightarrow x< \dfrac{1}{2}$, không phụ thuộc vào khoảng đang xét
- Xét $\dfrac{1}{2}\leq x< \dfrac{5}{2}$, (1) trở thành $4=4$ đúng với mọi x khoảng đang xét
- Xét $x\geq \dfrac{5}{2}$:
(1) trở thành $4x-6=4 \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$, thuộc vào khoảng đang xét
Kết luận: Nghiệm của pt (1) là $\dfrac{1}{2}\leq x\leq \dfrac{5}{2}$
Mách nhỏ: Để khỏi nhầm lẫn trong việc lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối, các bạn hãy nhớ lấy câu: "Trái khác, phải cùng" tức là: Bên trái nghiệm của biểu thức sẽ mang dấu khác (trái) với biếu thức ta nhìn thấy, bên phải nghiệm của biểu thức sẽ mang dấu cùng với biểu thức ta nhìn thấy.

Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi tương đương
Ta áp dụng 2 phép biến đổi cơ bản sau:
1) $|a|=b\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b\geq 0\\ \left[\begin{array}{l} a=b \\ a=-b \\ \end{array}\right.\\ \end{matrix}\right.$
2) $|a|=|b|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a=b \\ a=-b \\ \end{array}\right.$
VD: Giải pt:
$|x-1|=|3x-5|-(2)$
Giải:
Áp dụng phép biến đổi 2 ta có:
$(2)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-1=3x-5\\x-1=-3x+5\\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=\dfrac{3}{2}\\ \end{array} \right.$
Kết luận: pt (2) có 2 nghiệm $x_{1}=2;x_{2}=\dfrac{3}{2}$
Nhận xét: Ta có thể sử dụng phương pháp 1 để giải phương trình (2)

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
VD: Giải pt:
$|x^{2}-5x+5|=-2x^{2}+10x-11-(3)$
Giải:
$(3)\Leftrightarrow |x^{2}-5x+5|=-2(x^{2}-5x+5)-1$
Đặt $t=x^{2}-5x+5$ thì pt trở thành $|t|=-2t-1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2t-1\geq 0\\ \left[ \begin{array}{l} t=-2t-1 \\ t=2t+1 \\ \end{array} \right.\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t\leq \dfrac{1}{2}\\ \left[ \begin{array}{l} t=-\dfrac{1}{3} \\ t=-1 \\ \end{array} \right.\\ \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow t=-1$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+5 =-1 \Leftrightarrow x^{2}-5x+6 =0$
$\Leftrightarrow$$ x=2$;$x=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 21-12-2011 - 18:45

[Minhnguyenquang75]

Phương pháp 4: Sử dụng đồ thị

Nguyên tắc: Nghiệm của pt $f(x)=g(x)$ chính là hoành độ điểm chung của 2 đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$

VD: Biện luận số nghiệm của pt: $|x-1|+|x+1|+|x|=m$
Giải:
Trước hết vẽ đồ thị hàm số $y=|x-1|+|x+1|+|x|$
+ Lập bảng khử dấu gttđ

+ Vẽ đồ thị trên từng khoảng, chú ý các điểm đặc biệt A(-1;3) ; B(0;2) ; C(1;3).
Số nghiệm của pt đúng bằng số điểm chung của đường thẳng $y=m$ với đồ thị vừa vẽ
Đồ thị

Từ đồ thị ta có:
• Nếu $m<2$ thì pt vô nghiệm
• Nếu $m=2$ thì pt có nghiệm duy nhất
• Nếu $m>2$ thì pt có 2 nghiệm phân biệt

Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức

Nguyên tắc: Sử dụng bất đẳng thức để so sánh f(x) và g(x). Từ đó tìm nghiệm của pt f(x)=g(x)

VD: Giải pt: $|x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}=1$
Giải:
Nhận thấy ngay $x=2003$ và $x=2004$ là nghiệm thỏa mãn của pt
• Nếu $x>2004$ thì $x-2003>1$ nên $|x-2003|>1\Rightarrow |x-2003|^{5}>1\Rightarrow |x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}>1$. Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn $x>2004$
• Nếu $x<2003$ thì $x-2004<-1$ nên $|x-2004|>1\Rightarrow |x-2004|^{7}>1\Rightarrow |x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}>1$. Chứng tỏ $x<2003$ không phải là nghiệm
• Nếu $2003<x<2004$ thì:

$\left\{\begin{matrix} 0<x-2003<1\\ -1<x-2004<0\\ \end{matrix}\right.$
nên
$\left\{\begin{matrix} |x-2003|^{5}<|x-2003|=x-2003\\ |x-2004|^{7}<|x-2004|=2004-x\\ \end{matrix}\right.$
Do đó $|x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}<(x-2003)+(2004-x)=1$. Chứng tỏ $2003<x<2004$ cũng không là nghiệm thỏa mãn của pt
Tóm lại, pt chỉ có 2 nghiệm như đã nhận thấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 22-12-2011 - 18:49

[thinhrost1]

Thanks for sharing

[4869msnssk]

em có ài toán này mọi người thử giải:

giải và biện luận phương trình sau $4\left |x+1 \right |-\left | x-2 \right |-3\left | x+2 \right |=0$

[lovemath99]

em có ài toán này mọi người thử giải:

giải và biện luận phương trình sau $4\left |x+1 \right |-\left | x-2 \right |-3\left | x+2 \right |=0$

 

Có tham số đâu mà bảo người ta biện luận.

 

Lập bảng xét dấu ra ta phân được 4 th:

 

TH1: $x<-2$ ta được pt:

 

$-4(x+1)-(2-x)+3(x+2)=0$

 

TH2: $-2 \le x < -1$

 

$-4(x+1)-(2-x)-3(x+2)=0$

 

TH3: $-1 \le x <2$

 

$4(x+1)-(2-x)-3(x+2)=0$

 

TH4: $x \ge 2$

 

$4(x+1)-(x-2)-3(x+2)=0$

 

Giải rồi đối chiếu dk .....

[4869msnssk]

Có tham số đâu mà bảo người ta biện luận.

 

Lập bảng xét dấu ra ta phân được 4 th:

 

TH1: $x<-2$ ta được pt:

 

$-4(x+1)-(2-x)+3(x+2)=0$

 

TH2: $-2 \le x < -1$

 

$-4(x+1)-(2-x)-3(x+2)=0$

 

TH3: $-1 \le x <2$

 

$4(x+1)-(2-x)-3(x+2)=0$

 

TH4: $x \ge 2$

 

$4(x+1)-(x-2)-3(x+2)=0$

 

Giải rồi đối chiếu dk .....

tóm LẠI KẾT QUẢ LÀ GÌ 

[4869msnssk]

có lẽ nhầm một chút khi gõ đầu bài 

ta có $PT\leq \left | 3x+6 \right |-3\left | x+2 \right |\leq 0$(1)

bằng cách áp dụng BĐT quen thuộc $\left | A \right |-\left | B \right |\leq \left | A-B \right |$

để cm bđt trên ta có $\left | A \right |-\left | B \right |\leq \left | A-B \right | \Rightarrow (\left | A \right |-\left | B \right |)^{2}\leq \left | A-B \right | ^{2}\Leftrightarrow 2AB\leq 2\left | AB \right |$(LUÔN ĐÚNG ) 

dấu bằng  xảy ra khi và chỉ khi $AB\geq 0$

hoặc $\left | A \right |-\left | B \right |\leq \left | A-B \right | \Leftrightarrow \left | A \right |\leq \left | B \right |+\left | A-B \right |$

TA DỄ DÀNG THẤY BĐT TRÊN ĐÚNG

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $B.(A-B)\geq 0\Leftrightarrow AB\geq B^{2}$

ÁP dụng vào (1) ta có:

+) dấu bằng xảy ra  khi và chỉ khi $x\geq 2$ hoặc $x\leq -1$

+) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x\geq 2$ hoặc $x\leq -2$

mời mọi người thảo luận 

[minhhieuchu]

.............................................................................

[tientran1802]

Bài viết hay quá, em đang gặp rắc rồi với việc tìm min, max trong GTTD.

[Flying Elephant]

Giải bài này hộ em.
Giải và biện luận số nghiệm của phương trình:

|2x² - 3x -2| = 5a - 8x -2x²

         

[vanduongts]

Phương pháp 4: Sử dụng đồ thị

VD: Biện luận số nghiệm của pt: $|x-1|+|x+1|+|x|=m$
Giải:
Trước hết vẽ đồ thị hàm số $y=|x-1|+|x+1|+|x|$
+ Lập bảng khử dấu gttđ
bangkhudau.png
+ Vẽ đồ thị trên từng khoảng, chú ý các điểm đặc biệt A(-1;3) ; B(0;2) ; C(1;3).
Số nghiệm của pt đúng bằng số điểm chung của đường thẳng $y=m$ với đồ thị vừa vẽ
Đồ thị
dothi.png
Từ đồ thị ta có:
• Nếu $m<2$ thì pt vô nghiệm
• Nếu $m=2$ thì pt có nghiệm duy nhất
• Nếu $m>2$ thì pt có 2 nghiệm phân biệt

Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức


VD: Giải pt: $|x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}=1$
Giải:
Nhận thấy ngay $x=2003$ và $x=2004$ là nghiệm thỏa mãn của pt
• Nếu $x>2004$ thì $x-2003>1$ nên $|x-2003|>1\Rightarrow |x-2003|^{5}>1\Rightarrow |x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}>1$. Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn $x>2004$
• Nếu $x<2003$ thì $x-2004<-1$ nên $|x-2004|>1\Rightarrow |x-2004|^{7}>1\Rightarrow |x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}>1$. Chứng tỏ $x<2003$ không phải là nghiệm
• Nếu $2003<x<2004$ thì:

$\left\{\begin{matrix} 0<x-2003<1\\ -1<x-2004<0\\ \end{matrix}\right.$
nên
$\left\{\begin{matrix} |x-2003|^{5}<|x-2003|=x-2003\\ |x-2004|^{7}<|x-2004|=2004-x\\ \end{matrix}\right.$
Do đó $|x-2003|^{5}+|x-2004|^{7}<(x-2003)+(2004-x)=1$. Chứng tỏ $2003<x<2004$ cũng không là nghiệm thỏa mãn của pt
Tóm lại, pt chỉ có 2 nghiệm như đã nhận thấy

bai nay co cach giai khac khong

[quangtit]

giải hộ em /3x-2/-/2x-1/<3

giải phương trình theo phương pháp 1: chia khoảng trên trục số 

[JellyFish]

 /3x-2/-/2x-1/<3

 

x                 (- vô cùng)                            1/2                                    2/3                                (+ vô cùng)

                     

/3x-2/                                  -3x+2              /               -3x+2                0            3x-2

/2x-1/                                  -2x+1             0                 2x-1                /             2x-1

 

 

 

TH1:           x <= 1/2                            :-3x+2+2x-1<3 <=> x>2( loại) vì đk là x<=1/2                      

TH2:        1/2 <x<= 2/3                        :-3x+2-2x+1<3 <=> x>0                                    //        Giao no với đk ta đc tập no (1/2; 2/3 ngoặc vuông

TH3:           x>2/3                                :3x-2-2x+1<3   <=> x<4                                   //         Giao no với đk ta đc tập no(2/3;4)

 

 

 

 

=> Hợp no hai TH2 và 3 ta đc no chung: (1/2;4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JellyFish: 17-03-2017 - 20:12

[Ngoc Tran YB]

sách Đại số 10 hay lắm ạ !Ai không hiểu mua về đọc thì best

[binh2610]

giải hộ mình với plssssssss || 2 x mũ 2 - 5x +3| - | x - 1|| >x -2

[Chatara Kui]

Bạn có thắc mắc gì thì đăng vào box này : https://diendantoanh...ung-học-cơ-sở/ 

Mọi người sẽ giúp bạn <3

 

giải hộ mình với plssssssss || 2 x mũ 2 - 5x +3| - | x - 1|| >x -2