Xin đề HSG Toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011
#1
Đã gửi 07-12-2011 - 23:50
#2
Đã gửi 21-01-2012 - 14:24
ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HẢI DƯƠNG 2010-2011
Thời gian: 150 phút - Ngày 27/3/2011
Câu 1. (1,5 điểm)
Phân tích đa thức $4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3x^2y^2$ thành nhân tử.
Câu 2. (2,5 điểm)a) Giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+ \sqrt{2x^2+x+4}=3(x+1).$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \dfrac{4x^4}{1+4x^2}=y & & \\ \dfrac{4y^2}{1+4y^2}=z & & \\ \dfrac{4z^2}{1+4z^2}=x & & \end{matrix}\right.$
Câu 3 (2,0 điểm)a) Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau : $\dfrac{x- y\sqrt{2011}}{y- z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$20y^2-6xy=150-15x.$$
Câu 4. (3,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.
a) Chứng minh PI.AB = AC.CI
b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.
Câu 5. (1,0 điểm)a) Chứng minh $\dfrac{1}{1+x}+ \dfrac{1}{1+y} \ge \dfrac{2}{1+ \sqrt{xy}}, \ \forall x,y$ thỏa mãn $xy \ge 1.$
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{2} \le a,b,c \le 2.$ Chứng minh $$\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{22}{15}.$$
Nhân tiện mời các bác vào chém luôn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-01-2012 - 14:33
- ledacthuong2210 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 22-01-2012 - 07:59
Lời giải. Ta có $x=\frac{20y^2-150}{6y-15}$. Do đó $6y-15 \mid 20y^2-150$. Như vậyCâu 3 (2,0 điểm)
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$20y^2-6xy=150-15x.$$
\[6y-15 \mid 3(20y^2-150)-10y(6y-15)=150y-450\]
Như vậy \[6y-15 \mid 25(6y-15)-(150y-450)=75\]
Khi đó $6y-15\in \{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15,\pm 25,\pm 75\}$. Mà ta dễ dàng thấy $3 \mid 6y-15$, nên chỉ có thể có $\{\pm 3,\pm 15,\pm 75\}$.
Ta tìm được nghiệm $\boxed{(x,y)\in \{(0,10);(3,10);(15,58)\}}$. $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 22-01-2012 - 08:00
- perfectstrong yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 25-01-2012 - 13:27
Câu 5. (1,0 điểm)
a) Chứng minh $\dfrac{1}{1+x}+ \dfrac{1}{1+y} \ge \dfrac{2}{1+ \sqrt{xy}}, \ \forall x,y$ thỏa mãn $xy \ge 1.$b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{2} \le a,b,c \le 2.$ Chứng minh $$\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{22}{15}.$$
Câu a
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$ đúng với x,y dương và $xy\geq 1$
Câu b có khá nhiều cách
Ở đây mình trình bày cách sử dụng dồn biến
Gọi VT là K
$K(a;b;c)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Giả sử a=max {a;b;c}
Ta sẽ cm: $K(a;b;c)\geq K(a;b;\sqrt{ab})\geq \frac{22}{15}$
Ta có: $K(a;b;c)-K(a;b;\sqrt{ab})=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(b+c)(c+a)}\geq 0$
Đặt $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ . Do a,b,c thuộc $[\frac{1}{2};2]$ do đó $2\geq x$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{22}{15}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{22}{15}$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{-7x^3+23x^2+8-22x}{15(x^2+1)(x+1)}=\frac{(2-x)(7x^2-9x+4)}{15(x^2+1)(x+1)}\geq 0$
Do đó BĐT được cm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2;b=\frac{2}{9};c=\frac{2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-01-2012 - 17:50
- perfectstrong và vuhoangminh97 thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#5
Đã gửi 25-01-2012 - 13:44
a, đặt $$a = \sqrt{2x^2 + 7x + 10}, b = \sqrt{2x^2 + x + 4}$$
PT $\Leftrightarrow 2(a + b) = a^2 - b^2 \Leftrightarrow a - b = 2$ . Chuyển vế, bình phương, ta có 1 pt bậc 2 ẩn x
b, (pt thứ nhất phải là $4x^2$ chứ.
ĐK:$x, y, z \ge 0$
TH1. $x = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0$
TH2. Ta có $\dfrac{4x^2}{1 + 4x^2} \le \dfrac{4x^2}{4x} = x$ Tương tự với các số còn lại suy ra tích vế trái $\le xyz$. Do đó, $x = y = z = \dfrac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-01-2012 - 21:05
- perfectstrong, Ispectorgadget, nghiakvnvsdt và 1 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#6
Đã gửi 25-01-2012 - 13:52
$4(x + 1)(y + 1)(x + y - 1) - 3x^2y^2 = 4(x y + x + y + 1)(x + y + 1) - 3x^2y^2 $ $= 4(x + y + 1)^2 - 4(x + y + 1)xy - 3x^2y^2 = (2(x + y + 1) + xy)(2(x + y + 1) - 3xy) $Bạn nhớ tìm trên google trước khi hỏi nhé!
ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HẢI DƯƠNG 2010-2011
Thời gian: 150 phút - Ngày 27/3/2011
Câu 1. (1,5 điểm)Phân tích đa thức $4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3x^2y^2$ thành nhân tử.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 25-01-2012 - 14:45
- perfectstrong yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#7
Đã gửi 29-01-2012 - 17:46
Thiếu TH xảy ra dấu =Câu a
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$ đúng với x,y dương và $xy\geq 1$
Câu b có khá nhiều cách
Ở đây mình trình bày cách sử dụng dồn biến
Gọi VT là K
$K(a;b;c)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Giả sử a=max {a;b;c}
Ta sẽ cm: $K(a;b;c)\geq K(a;b;\sqrt{ab})\geq \frac{22}{15}$
Ta có: $K(a;b;c)-K(a;b;\sqrt{ab})=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(b+c)(c+a)}\geq 0$
Đặt $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ . Do a,b,c thuộc $[\frac{1}{2};2]$ do đó $2\geq x$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{22}{15}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{22}{15}$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{-7x^3+23x^2+8-22x}{15(x^2+1)(x+1)}=\frac{(2-x)(7x^2-9x+4)}{15(x^2+1)(x+1)}\geq 0$
Do đó BĐT được cm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2;b=\frac{2}{9};c=\frac{2}{3}$
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#8
Đã gửi 29-01-2012 - 20:50
Do giả thiết nên ta đặt
\[\begin{array}{l}
\frac{{x - y\sqrt {2011} }}{{y - z\sqrt {2011} }} = \frac{m}{n}\left( \begin{array}{l}
m;n \in Z;n \ne 0 \\
\left( {m;n} \right) = 1 \\
\end{array} \right) \\
\Leftrightarrow xn - ym = \left( {yn - zm} \right)\sqrt {2011} \\
\sqrt {2011} \in I \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xn - ym = 0 \\
yn - zm = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{m}{n} \Rightarrow {y^2} = xz \\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - 2xz + {y^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - {y^2} = \left( {x + z + y} \right)\left( {x + z - y} \right) \\
x + z + y > x + z - y > 1 \\
{x^2} + {y^2} + {z^2} \in P \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + z + y = {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ }}\left( 1 \right) \\
x + z - y = 1{\rm{ }}\left( 2 \right) \\
\end{array} \right. \\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow y = x + z - 1 \\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + z + x + z - 1 = {x^2} + {z^2} + {\left( {x + z - 1} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 2x + 2z - 1 = {x^2} + {z^2} + {x^2} + {z^2} + 1 + 2xz - 2x - 2z \\
\Leftrightarrow {x^2} + x\left( {z - 2} \right) + {\left( {z - 1} \right)^2} = 0 \\
\exists x \Leftrightarrow {\Delta _x} = {\left( {z - 2} \right)^2} - 4{\left( {z - 1} \right)^2} = z\left( {4 - 3z} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4 - 3z \ge 0 \Leftrightarrow z \le \frac{4}{3} \\
\Rightarrow z \le 1 \Rightarrow z = 1 \\
pt \Rightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1 \\
\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;1;1} \right) \\
\end{array}\]
- hangel_elf, thedragonknight, nthoangcute và 1 người khác yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#9
Đã gửi 29-01-2012 - 20:57
Anh Huy ơi,a2-b2=2(a+b) chứ ạCâu 2
a, đặt $$a = \sqrt{2x^2 + 7x + 10}, b = \sqrt{2x^2 + x + 4}$$
PT $\Leftrightarrow a + b = 2(a^2 - b^2) \Leftrightarrow 2(a - b) = 1$ . Chuyển vế, bình phương, ta có 1 pt bậc 2 ẩn xb, (pt thứ nhất phải là $4x^2$ chứ.
ĐK:$x, y, z \ge 0$
TH1. $x = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0$
TH2. Ta có $\dfrac{4x^2}{1 + 4x^2} \le \dfrac{4x^2}{4x} = x$ Tương tự với các số còn lại suy ra tích vế trái $\le xyz$. Do đó, $x = y = z = \dfrac{1}{2}$
Xin phép giải tiếp:
a-b=2 suy ra b=2-a
a2-(a-2)2=6(x+1)
Phân tích từ từ,sẽ được:
2a=3x+5
rồi bình phương 2 vế,rút gọn,ta được:
x2+2x-15=0
x=3 hoặc x=-5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 29-01-2012 - 21:15
- Tham Lang, thedragonknight, nthoangcute và 1 người khác yêu thích
#10
Đã gửi 29-01-2012 - 21:05
đúng đó, mình nhầmAnh Huy ơi,a2-b2=2(a+b) chứ ạ
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh