Chủ đề này có 9 trả lời

[banrau]

Tôi đang rất cần đề HSG Toán 9 tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011. Ai có xin gửi giúp . Xin chân thành cảm ơn !

[Zaraki]

Bạn nhớ tìm trên google trước khi hỏi nhé!

ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HẢI DƯƠNG 2010-2011

Thời gian: 150 phút - Ngày 27/3/2011

Câu 1. (1,5 điểm)

Phân tích đa thức $4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3x^2y^2$ thành nhân tử.

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+ \sqrt{2x^2+x+4}=3(x+1).$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \dfrac{4x^4}{1+4x^2}=y & & \\ \dfrac{4y^2}{1+4y^2}=z & & \\ \dfrac{4z^2}{1+4z^2}=x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau : $\dfrac{x- y\sqrt{2011}}{y- z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$20y^2-6xy=150-15x.$$

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.

a) Chứng minh PI.AB = AC.CI

b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.

Câu 5. (1,0 điểm)

a) Chứng minh $\dfrac{1}{1+x}+ \dfrac{1}{1+y} \ge \dfrac{2}{1+ \sqrt{xy}}, \ \forall x,y$ thỏa mãn $xy \ge 1.$

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{2} \le a,b,c \le 2.$ Chứng minh $$\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{22}{15}.$$

Nhân tiện mời các bác vào chém luôn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-01-2012 - 14:33

[Zaraki]

Câu 3 (2,0 điểm)

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$20y^2-6xy=150-15x.$$

Lời giải. Ta có $x=\frac{20y^2-150}{6y-15}$. Do đó $6y-15 \mid 20y^2-150$. Như vậy
\[6y-15 \mid 3(20y^2-150)-10y(6y-15)=150y-450\]
Như vậy \[6y-15 \mid 25(6y-15)-(150y-450)=75\]
Khi đó $6y-15\in \{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15,\pm 25,\pm 75\}$. Mà ta dễ dàng thấy $3 \mid 6y-15$, nên chỉ có thể có $\{\pm 3,\pm 15,\pm 75\}$.

Ta tìm được nghiệm $\boxed{(x,y)\in \{(0,10);(3,10);(15,58)\}}$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 22-01-2012 - 08:00

[Ispectorgadget]

Câu 5. (1,0 điểm)
a) Chứng minh $\dfrac{1}{1+x}+ \dfrac{1}{1+y} \ge \dfrac{2}{1+ \sqrt{xy}}, \ \forall x,y$ thỏa mãn $xy \ge 1.$

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{2} \le a,b,c \le 2.$ Chứng minh $$\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{22}{15}.$$

Câu a
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$ đúng với x,y dương và $xy\geq 1$
Câu b có khá nhiều cách
Ở đây mình trình bày cách sử dụng dồn biến
Gọi VT là K
$K(a;b;c)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Giả sử a=max {a;b;c}
Ta sẽ cm: $K(a;b;c)\geq K(a;b;\sqrt{ab})\geq \frac{22}{15}$
Ta có: $K(a;b;c)-K(a;b;\sqrt{ab})=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(b+c)(c+a)}\geq 0$
Đặt $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ . Do a,b,c thuộc $[\frac{1}{2};2]$ do đó $2\geq x$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{22}{15}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{22}{15}$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{-7x^3+23x^2+8-22x}{15(x^2+1)(x+1)}=\frac{(2-x)(7x^2-9x+4)}{15(x^2+1)(x+1)}\geq 0$
Do đó BĐT được cm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2;b=\frac{2}{9};c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-01-2012 - 17:50

[Tham Lang]

Câu 2
a, đặt $$a = \sqrt{2x^2 + 7x + 10}, b = \sqrt{2x^2 + x + 4}$$
PT $\Leftrightarrow 2(a + b) = a^2 - b^2 \Leftrightarrow a - b = 2$ . Chuyển vế, bình phương, ta có 1 pt bậc 2 ẩn x

b, (pt thứ nhất phải là $4x^2$ chứ.

ĐK:$x, y, z \ge 0$

TH1. $x = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0$

TH2. Ta có $\dfrac{4x^2}{1 + 4x^2} \le \dfrac{4x^2}{4x} = x$ Tương tự với các số còn lại suy ra tích vế trái $\le xyz$. Do đó, $x = y = z = \dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-01-2012 - 21:05

[Tham Lang]

Bạn nhớ tìm trên google trước khi hỏi nhé!

ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HẢI DƯƠNG 2010-2011

Thời gian: 150 phút - Ngày 27/3/2011

Câu 1. (1,5 điểm)

Phân tích đa thức $4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3x^2y^2$ thành nhân tử.

$4(x + 1)(y + 1)(x + y - 1) - 3x^2y^2 = 4(x y + x + y + 1)(x + y + 1) - 3x^2y^2 $ $= 4(x + y + 1)^2 - 4(x + y + 1)xy - 3x^2y^2 = (2(x + y + 1) + xy)(2(x + y + 1) - 3xy) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 25-01-2012 - 14:45

[Tham Lang]

Câu a
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$ đúng với x,y dương và $xy\geq 1$
Câu b có khá nhiều cách
Ở đây mình trình bày cách sử dụng dồn biến
Gọi VT là K
$K(a;b;c)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Giả sử a=max {a;b;c}
Ta sẽ cm: $K(a;b;c)\geq K(a;b;\sqrt{ab})\geq \frac{22}{15}$
Ta có: $K(a;b;c)-K(a;b;\sqrt{ab})=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(b+c)(c+a)}\geq 0$
Đặt $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ . Do a,b,c thuộc $[\frac{1}{2};2]$ do đó $2\geq x$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{22}{15}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{22}{15}$
$K(a;b;\sqrt{ab})-\frac{22}{15}=\frac{-7x^3+23x^2+8-22x}{15(x^2+1)(x+1)}=\frac{(2-x)(7x^2-9x+4)}{15(x^2+1)(x+1)}\geq 0$
Do đó BĐT được cm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2;b=\frac{2}{9};c=\frac{2}{3}$

Thiếu TH xảy ra dấu =

[perfectstrong]

Bài 3: a)
Do giả thiết nên ta đặt
\[\begin{array}{l}
\frac{{x - y\sqrt {2011} }}{{y - z\sqrt {2011} }} = \frac{m}{n}\left( \begin{array}{l}
m;n \in Z;n \ne 0 \\
\left( {m;n} \right) = 1 \\
\end{array} \right) \\
\Leftrightarrow xn - ym = \left( {yn - zm} \right)\sqrt {2011} \\
\sqrt {2011} \in I \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xn - ym = 0 \\
yn - zm = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{m}{n} \Rightarrow {y^2} = xz \\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - 2xz + {y^2} = {\left( {x + z} \right)^2} - {y^2} = \left( {x + z + y} \right)\left( {x + z - y} \right) \\
x + z + y > x + z - y > 1 \\
{x^2} + {y^2} + {z^2} \in P \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + z + y = {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ }}\left( 1 \right) \\
x + z - y = 1{\rm{ }}\left( 2 \right) \\
\end{array} \right. \\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow y = x + z - 1 \\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + z + x + z - 1 = {x^2} + {z^2} + {\left( {x + z - 1} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 2x + 2z - 1 = {x^2} + {z^2} + {x^2} + {z^2} + 1 + 2xz - 2x - 2z \\
\Leftrightarrow {x^2} + x\left( {z - 2} \right) + {\left( {z - 1} \right)^2} = 0 \\
\exists x \Leftrightarrow {\Delta _x} = {\left( {z - 2} \right)^2} - 4{\left( {z - 1} \right)^2} = z\left( {4 - 3z} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4 - 3z \ge 0 \Leftrightarrow z \le \frac{4}{3} \\
\Rightarrow z \le 1 \Rightarrow z = 1 \\
pt \Rightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1 \\
\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;1;1} \right) \\
\end{array}\]

[ducthinh26032011]

Câu 2
a, đặt $$a = \sqrt{2x^2 + 7x + 10}, b = \sqrt{2x^2 + x + 4}$$
PT $\Leftrightarrow a + b = 2(a^2 - b^2) \Leftrightarrow 2(a - b) = 1$ . Chuyển vế, bình phương, ta có 1 pt bậc 2 ẩn x

b, (pt thứ nhất phải là $4x^2$ chứ.

ĐK:$x, y, z \ge 0$

TH1. $x = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0$

TH2. Ta có $\dfrac{4x^2}{1 + 4x^2} \le \dfrac{4x^2}{4x} = x$ Tương tự với các số còn lại suy ra tích vế trái $\le xyz$. Do đó, $x = y = z = \dfrac{1}{2}$

Anh Huy ơi,a²-b²=2(a+b) chứ ạ
Xin phép giải tiếp:
a-b=2 suy ra b=2-a
a²-(a-2)²=6(x+1)
Phân tích từ từ,sẽ được:
2a=3x+5
rồi bình phương 2 vế,rút gọn,ta được:
x²+2x-15=0
x=3 hoặc x=-5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 29-01-2012 - 21:15

[Tham Lang]

Anh Huy ơi,a²-b²=2(a+b) chứ ạ

đúng đó, mình nhầm