Chủ đề này có 5 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$y^2=x^4+x^3+x^2+x+1$$
$$x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+....+x_{14}^4=1599$$
$$x^2=y^3+16$$
$$x^2+y^2=6(z^2+t^2)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 09-12-2011 - 17:47

[Crystal]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$y^2=x^4+x^3+x^2+x+1$$
$$x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+....+x_{14}^4=1599$$
$$x^2=y^3+16$$
$$x^2+y^2=6(z^2+t^2)$$

Hướng dẫn:
1. $y^2=x^4+x^3+x^2+x+1$

Phương trình đã cho được viết thành: $${\left( {2y} \right)^2} = {\left( {2{x^2} + x} \right)^2} + 2{x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} > {\left( {2{x^2} + x} \right)^2}$$
$$ \Rightarrow {\left( {2{x^2} + x} \right)^2} < {\left( {2y} \right)^2} < {\left( {2{x^2} + x + 1} \right)^2} \Rightarrow - 1 \leqslant x \leqslant 3$$
Từ đó xét các giá trị của $x$ rồi suy ra kết quả.

2. $x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+....+x_{14}^4=1599$

Với $n = 2k \Rightarrow {n^4} = 16{k^4}\,\, \vdots \,\,6$

Với $n = 2k + 1,{n^4} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,16$

Như vậy khi chia $x+x+...+x$ cho $16$ có số dư bằng các số lẻ trong dãy $x,x,...,x$ tức không vượt quá $14$. Mặt khác $1599 = 1600 - 1$ chia cho $16$ dư $-1$ tức là $15$.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Hai bài còn lại các bạn khác giải tiếp.

[MyLoVeForYouNMT]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$x^2=y^3+16$$
$$x^2+y^2=6(z^2+t^2)$$

Còn lại 2 bài trên và thêm một số bài nữa:
$x^2+3xy-y^2+2x-3y=5$
$2x^2+3y^2+xy-3x-3=y$
2) Tìm các số nguyên dương x, y để
$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 16-12-2011 - 20:29

[Zaraki]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$y^2=x^4+x^3+x^2+x+1$$

Cách 2. Phân tích tương tự ta được
$$4y^2=(2x^2+x)^2+2x^2+(x+2)^2>(2x^2+x)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
Đặt $A=2x^2+x$, ta sẽ chứng minh $4y^2 \le (A+2)^2.$
Xét $(A+2)^2-4y^2=5x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

+ Nếu $x=0$ thì $y^2=1$.
+ Nếu $x \ne 0$ thì từ $(4) \rightarrow (A+2)^2>4y^2$. Kết hợp với $(3)$ ta được
$$A^2<4y^2<(A+2)^2$$
Suy ra $(2y)^2=(A+1)^2 \iff 3x^2+4x+4=4x^2+2x+1 \iff x^2-2x-3=0$.
Ta được $x_1=3, \ x_2=1$.

[Crystal]

2) Tìm các số nguyên dương x, y để
$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$

Đây chính là Bài 4 trong IMO 2006.

[nguyenta98]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$x^2=y^3+16$$

Th1: $x$ chẵn suy ra $y$ chẵn suy ra $y$ chia hết cho 4 vì nếu $y$ chỉ chia hết cho 2 thì $y^3$ chỉ chia hết cho 8 suy ra $x^2$ chia hết cho 8 mà ko chia hết cho 16 loại
Suy ra $y$ chia hết cho 4. Đặt $y=4k$. Cũng suy ra $x$ chia hết cho 4. Nên ta cũng đăt $x=4q$
Suy ra $16q^2=64k^3+16<=>(q-1)(q+1)=4k^3$ suy ra $q$ lẻ đặt $q=2t+1$
Suy ra $2t(2t+2)=4k^3<=>t(t+1)=k^3$ dễ thấy $gcd(t,t+1)=1$ suy ra $t=a^3, t+1=b^3, k^3=a^3.b^3$
Suy ra $b^3-a^3=1<=>(b-a)(b^2+ab+a^2)=1$ từ đây có phương trình ước số dễ suy ra $(a,b)=(0,1),(-1,0)$ và suy ra $(x,y)=(4,0),(-4,0)$
Th2: $x$ lẻ từ đề bài $x^2=y^3+16<=>(x-4)(x+4)=y^3$
Ở đây lại thấy do $x$ lẻ nên $gcd(x-4,x+4)=1$ Suy ra $x-4=m^3; x+4=n^3, y^3=m^3.n^3$
Suy ra $n^3-m^3=8<=>(n-m)(n^2+mn+m^2)=8$ đến đây có phương trình ước số; lại có $n^2+mn+m^2-(n-m)^2=3mn$ chia hết cho 3
Nên ta chỉ có cá đáp số ở trường hợp này là $(m,n)=(-2,0),(0,2)$ loại vì khi đó $x$ chẵn
Vậy bài toán chỉ có đáp số: $\boxed{(x,y)=(4,0),(-4,0)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-12-2011 - 18:24