Chủ đề này có 1 trả lời

[anhuyen2000]

CMR : tập P là vô hạn

MoD: Mong bạn đánh lại đề và đặt tiêu đề cụ thể hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2011 - 11:58

[nguyenta98]

Ý bạn chắc là tập số nguyên tố đúng không.
Chứng minh như sau: (2 cách)
C1: Giả sử tập $P$ là hữu hạn hay có hữu hạn số nguyên tố
Suy ra giả sử số nguyên tố lớn nhất là $Pn$
Xét số $A=P1.P2......Pn+1$ (với $P1.P2......Pn$ là tất cả các số nguyên tố của tập $P$
Dễ thấy $A$ phải là hợp số vì nếu $A$ là số nguyên tố thì $A$ sẽ là số nguyên tố mà lại lớn hơn $Pn$ mâu thuẫn với đã giả sử
$Pn$ là số lớn nhất.
Do đó $A$ là hợp số. Vì vậy nên $A$ phải chia hết cho ít nhất 1 số nguyên tố, gọi nó là $Q$
Lại thấy $A$ không chia hết cho bất kì số nguyên tố nào thuộc tập $P1.P2......Pn$ vì nếu không thì $1$ chia hết cho $Pj$ với $j=1,2,3...,n$ vô lý
Suy ra $Q>Pn$ vô lý với điều giả sử. Suy ra điều giả sử là sai hay tập số nguyên tố là vô hạn.

C2:
Ta sẽ chứng minh cứ giữa 2 số $n$ và $n!+1$ sẽ có ít nhất 1 số nguyên tố. <1>
Thật vậy ta có:
Dễ thấy
Th1: $n!+1$ là số nguyên tố thì <1> chứng minh xong và vì cứ giữa 2 số $n$ và $n!+1$ sẽ có ít nhất 1 số nguyên tố nên tập $P$ vô hạn.
Th2: $n!+1$ không phải nguyên tố.
Dễ thấy $n!+1$ không phải nguyên tố thì nó là hợp số suy ra nó chia hết cho ít nhất 1 số nguyên tố và đặt nó là $Q$
Lại có $n!+1$ không chia hết cho bất kì số nào từ $1->n$ vì nếu không thì $1$ chia hết cho 1 số $k$ với $1\le k\le n$ vô lý
Suy ra $Q>n$ suy ra giữa $n$ và $n!+1$ tồn tại 1 số nguyên tố <1> được chứng minh dẫn đến tập $P$ vô hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-12-2011 - 15:36