Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Chứng minh $p=m, q=n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 1001001

1001001

    Super Theory

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 15-01-2005 - 05:35

Cho $2$ phương trình $x^2+px+q=0$ và $x^2+mx+n=0$ ($p,q,m,n$ nguyên) có $1$ nghiệm chung không phải là số nguyên. Chứng minh $p=m,q=n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T*genie*: 02-02-2013 - 00:45

My major is CS.

#2 xuandai

xuandai

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Đã gửi 18-01-2005 - 01:04

Do 2 phương trình cùng nhận $x^1,x^2$ làm nghiệm nên;
${x_1}^2+px_1+q={x_1}^2+mx_1+n$
${x_2}^2+px_2+q={x_2}^2+mx_2+n$
Từ 2 đẳng thức trên suy ra:
$p(x_1-x_2)=m(x_1-x_2)$
Suy ra:
$p=m$ và $q=n$ hay nói cách khác 2 phương trình này hoàn toàn bằng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 01-08-2009 - 14:58


#3 1001001

1001001

    Super Theory

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 18-01-2005 - 19:19

Bài đâu có nói 2 phương trình có 2 nghiệm chung ?
My major is CS.

#4 tuanbi97

tuanbi97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-02-2013 - 17:18

tức là còn 1 phương trình nữa là $x^2+mx+n=0$ đó bạn

#5 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 03-02-2013 - 16:14

gọi xo là nghiệm chung của 2 pt (xo không thuọc Z)
theo đề bài ta có xo^2 + pxo +q=0
xo^2 +mxo + n=0
trừ về ta có xo(p-m) + (q-n) =0
do p;m;n;q nguyên mà xo không nguyên => p-m=q-n=0
=> đpcm

tàn lụi


#6 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 03-02-2013 - 16:57

vdotsvdotsvdotsvdotsvdots

gọi xo là nghiệm chung của 2 pt (xo không thuọc Z)
theo đề bài ta có $x_0^2 + px_0 + q = 0$
$x_0^2 + mx_0 + n = 0$
trừ theo vế, có $x_0(p-m) + (q-n) = 0$
do $p;m;n;q$ nguyên mà $x_o$ không nguyên => $p-m=q-n=0$
Q.E.D

Thứ nhất: lần sau, bạn gõ bằng LaTeX thì mới đọc được
Thứ hai:

$x_0(p-m) + (q-n) =0$ do $p; m; n; q \in \mathbb Z$ mà $x_0 \notin \mathbb Z => p-m=q-n=0$

là sai vì:
$x_0(p-m) + (q-n) =0 => x_0 = \frac{n-q}{p-m}$ là số hữu tỉ không là số vô tỉ, bài của bạn chỉ đúng khi $x$ là số vô tỉ
---------------------------
Mình chứng minh như sau
TH1: 2 phương trình có nghiệm duy nhất tức $\Delta_1 = \Delta_2=0$ => nghiệm chung 2 phương trình $x_0 = -\frac p 2=-\frac m 2 =>p=m$, dựa vào $\Delta = 0$ cũng dễ có $q=n$

TH2: Ít nhất 1 trong 2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta giả sử $pt(1)$ có 2 nghiệm $x_0, x_1$ ($x_0$ là nghiệm chung, ta chứng minh TH này chỉ xảy ra khi $x_0$ là số vô tỉ).
2.1. Nếu $x_0$ là số vô tỉ, làm tương tự bài của Ha Manh Huu
2.2. Nếu $x_0$ hữu tỉ không nguyên, $x_1 \in \mathbb Z$. Theo Viet thì
$x_0 + x_1 = -p \in \mathbb Z$ vô lí vì tổng 1 số nguyên với số không nguyên không thể là số nguyên.
2.3. Nếu $x_0$ hữu tỉ, $x_1$ vô tỉ. Tương tự 2.2
2.4. Nếu cả $x_0, x_1 \notin \mathbb Z$ (nhưng đều là số hữu tỉ)
Đặt:
$x_0 = \frac a b$, $x_1 = \frac d y(a, b, d ,y \in Z; (a;b)=(d;y)=1; by \not= 0)$ . Theo Viet:
$\left\{\begin{matrix} x_0 + x_1=-p\\ x_0x_1=q \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac a b + \frac d y=-p\\ \frac a b . \frac d y=q(2) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac ab = n' - \frac dy (with\ n' = -p)$
Thế vào (2): $q = (n' - \frac dy).\frac dy = \frac {n'yd - d^2}{y^2} \in \mathbb Z$
$=> \frac {n'yd - d^2}{y} \in \mathbb Z => n'yd - d^2 \vdots y =>d^2 \vdots y => d \vdots y$ mâu thuẫn với điều kiện đặt ban đầu
$Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 05-02-2013 - 18:26

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#7 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 05-02-2013 - 17:55

vdotsvdotsvdotsvdotsvdots
Thứ nhất: lần sau, bạn gõ bằng LaTeX thì mới đọc được
Thứ hai:

là sai vì:
$x_0(p-m) + (q-n) =0 => x_0 = \frac{n-q}{p-m}$ là số hữu tỉ không là số vô tỉ, bài của bạn chỉ đúng khi $x$ là số vô tỉ
---------------------------
Mình chứng minh tạm như sau (chưa kiểm tra nên không biết đúng không)
TH1: 2 phương trình có nghiệm duy nhất tức $\Delta_1 = \Delta_2=0$ => nghiệm chung 2 phương trình $x_0 = -\frac p 2=-\frac m 2 =>p=m$, dựa vào $\Delta = 0$ cũng dễ có $q=n$

TH2: Ít nhất 1 trong 2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta giả sử $pt(1)$ có 2 nghiệm $x_0, x_1$ ($x_0$ là nghiệm chung, ta chứng minh TH này chỉ xảy ra khi $x_0$ là số vô tỉ).
2.1. Nếu $x_0$ là số vô tỉ, làm tương tự bài của Ha Manh Huu
2.2. Nếu $x_0$ hữu tỉ không nguyên, $x_1 \in \mathbb Z$. Theo Viet thì
$x_0 + x_1 = -p \in \mathbb Z$ vô lí vì tổng 1 số nguyên với số không nguyên không thể là số nguyên.
2.3. Nếu $x_0$ hữu tỉ, $x_1$ vô tỉ. Tương tự 2.2
2.4. Nếu cả $x_0, x_1 \notin \mathbb Z$ (nhưng đều là số hữu tỉ)
Đặt:
$x_0 = \frac a b$, $x_1 = \frac d y(a, b, d ,y \in Z; (a;b)=(d;y)=1; by \not= 0)$ . Theo Viet:
$\left\{\begin{matrix} x_0 + x_1=-p\\ x_0x_1=q \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac a b + \frac d y=-p\\ \frac a b . \frac d y=q(2) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac ab = n' - \frac dy (with\ n' = -p)$
Thế vào (2): $q = (n' - \frac dy).\frac dy = \frac {n'yd - d^2}{y^2} \in \mathbb Z$
$=> \frac {n'yd - d^2}{y} \in \mathbb Z => n'yd - d^2 \vdots y =>d^2 \vdots y => d \vdots y$ mâu thuẫn với điều kiện đặt ban đầu
$Q.E.D$



ờ mình quên mất vội quá nên suy nghĩ sai

tàn lụi


#8 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 19:45

Chấm bài:
ilovelife 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh