Chủ đề này có 6 trả lời

[nangluong1]

tính tích phân :
$\int_{0}^{1}(\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$

[GaDiHoc]

\[
\begin{array}{l}
J = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx = \int {x\sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}} } } dx \\
u = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}} \Rightarrow x^2 = \dfrac{1}{{u^2 - 1}} \Rightarrow xdx = \dfrac{{udu}}{{(u^2 - 1)^2 }} \\
J = \int {\dfrac{{u^2 du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \int {\dfrac{{u^2 - 1 + 1du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \int {\dfrac{{du}}{{u^2 - 1}}} + \int {\dfrac{{du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \dfrac{1}{2}\ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}| + K \\
k = \int {\dfrac{{du}}{{(u - 1)(u + 1)^2 }}} = \dfrac{1}{4}\int {\left( {\dfrac{1}{{\left( {u - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{u + 1}}} \right)} ^2 du = \dfrac{1}{4}\int {\left( {\dfrac{1}{{\left( {u - 1} \right)^2 }} - \left( {\dfrac{1}{{u - 1}} - \dfrac{1}{{u + 1}}} \right) + \dfrac{1}{{(u + 1)^2 }}} \right)} du \\
k = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{1 - u}} - \dfrac{1}{{u + 1}} - \ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}|} \right) \\
I = \dfrac{1}{2}\ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}| + \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{1 - u}} - \dfrac{1}{{u + 1}} - \ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}|} \right) \\
\end{array}
\]

[GaDiHoc]

ah quên thế cân lại \[
u = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}}
\]

và cộng thêm c
\[
\int {\dfrac{{x^2 dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}} = \int {\dfrac{{x^2 + 1 - 1dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}} = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx - } \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GaDiHoc: 14-12-2011 - 16:54

[nangluong1]

Tuy bài viết chưa hoàn chỉnh nhưng cũng cám ơn bạn
còn một cách là đặt x=tanu dài tương đương cách này

[Crystal]

tính tích phân :
$\int_{0}^{1}(\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$

Tính: $$\int {\dfrac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \int {\dfrac{{\left( {{x^2} + 1 - 1} \right)dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \int {\sqrt {{x^2} + 1} dx - } \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $$
$$ = \dfrac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| - \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C$$
$$ = \dfrac{1}{2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 1} - \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right|} \right) + C$$
Thế cận vào là xong.

[GaDiHoc]

cái tích phân
\[
\begin{array}{l}
\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} = \int {\dfrac{{x + \sqrt {x^2 + 1} }}{{(x + \sqrt {x^2 + 1)} (\sqrt {x^2 + 1} )}}} } dx = \int {\dfrac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {x^2 + 1} }}}}{{x + \sqrt {x^2 + 1} }}} dx = \int {\dfrac{{d(x + \sqrt {x^2 + 1} )}}{{x + \sqrt {x^2 + 1} }}} \\
= \ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c \\
\end{array}
\]

là tích phân cơ bản có thể sử dụng luôn không cần CM:nhân tiên mình CM luôn:D

[GaDiHoc]

\[
\begin{array}{l}
I = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx = x\sqrt {x^2 + 1} - } \int {\dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {x^2 + 1} }}dx = } x\sqrt {x^2 + 1} - \int {\dfrac{{x^2 + 1 - 1}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}dx} \\
\\
= x\sqrt {x^2 + 1} - I + \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} = } > 2I = x\sqrt {x^2 + 1} + \ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c_1 \\
\Rightarrow I = \dfrac{x}{2}\sqrt {x^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c \\
\end{array}
\]

nhân tiện CM luôn:D công thức nay không biết có được dùng thẳng không:
Tổng Quát:
\[
\int {\sqrt {x^2 + a} } dx = \dfrac{x}{2}\sqrt {x^2 + a} + \dfrac{a}{2}\ln |x + \sqrt {x^2 + a} | + c
\]