Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$D_a,D_b,D_c,D_d$ đồng quy .


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Abel123

Abel123

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 15-01-2005 - 11:28

Cho tứ diện $ABCD$ ; $M$ là 1 điểm trong tứ diện.Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt cuả tứ diện. Gọi $D_a$ là đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(B_1C_1D_1)$, các đường thẳng $D_b,D_c,D_d$ xác định tương tự.
CMR $D_a,D_b,D_c,D_d$ đồng quy .

#2 snowwhite

snowwhite

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN TPHCM
  • Sở thích:Nuôi cá vàng

Đã gửi 06-12-2012 - 11:02

Em phân tích bài toán như thế này :
Đề bài cho :
$D_{a}\perp (B_{_{1}}C_{1}D_{1})$
$D_{b}\perp (A_{_{1}}C_{1}D_{1})$
$D_{c}\perp (A_{_{1}}B_{1}D_{1})$
$D_{d}\perp (A_{_{1}}B_{1}C_{1})$
Điều cần c/m là : $D_{a}\cap D_{b}\cap D_{c}\cap _{d}=I$
Tiếp đến em đi theo hướng này :
$(D_{a},D_{b})\cap (D_{a},D_{c})=D_{a}$
$(D_{a},D_{c})\cap (D_{b},D_{c})=D_{c}$
$D_{a}\cap D_{c}=I$
Từ đó suy ra : $D_{a}\cap D_{b}\cap D_{c}=I$
Tương tự :
$ D_{a}\cap D_{c}\cap _{d}=I$
Từ 2 điều này ta suy ra dpcm
Cái quan trọng của bài toán này là làm sao c/m $D_{a}\cap D_{c}=I$
Theo em nghĩ đây là điểm mấu chốt của bài toán

#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-12-2012 - 19:00

Bổ đề
Cho $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{z}$ khác $\overrightarrow{0}$ thỏa mãn:
$$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \perp \overrightarrow{z}$$
Khi đó $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ đồng phẳng
Chứng minh bổ đề
Ta sẽ chứng minh cho trường hợp $\overrightarrow{v}$ không song song $\overrightarrow{w}$ không đồng phẳng là đủ. Khi đó tồn tại các số $a, b, c$ sao cho:
$$\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}+c\overrightarrow{z}$$
Nhân theo vế với với $\overrightarrow{z}$, chú ý vuông góc ta có ngay $|\overrightarrow{z}|=0$, đẳng thức trên trở thành:
$$\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}$$
Điều này cho ta đpcm
Bài toán
Do $MD_1$ vuông góc (ABC) nên $MD_1$ vuông góc $AB$, tương tự ta cũng có $MC_1$ vuông góc với $AB$. Như vậy,
$$AB \perp (MC_1D_1)$$
Suy ra,
$$D_1C_1 \perp AB$$
Từ giả thiết ta có đươc:
$$D_a, D_b \perp D_1C_1$$
Theo bổ đề trên thì ta có $D_a, D_b, AB$ đồng phẳng (có 2 đường cắt nhau), do đó $D_a$ cắt $D_b$
Như vậy, $D_a, D_b, D_c, D_d$ cắt nhau từng đôi một. Nếu chúng không đồng quy, giả sử rằng $D_a, D_b, D_c$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt, như vậy chúng đồng phẳng. Nhưng điều này là không thể được vì khi đó chúng cùng thuộc mặt $(ABC)$. Ta có đpcm

Hình gửi kèm

  • VUÔNG GOC.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 07-12-2012 - 19:09


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 22:54

Chấm bài:
Nxb: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh