Chủ đề này có 7 trả lời

[PSW]

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{x^2 + 2y+x+1}+ 4y+x+1=0 & \\2\left ( y^3+2y-x-1) =y^2(x+1 \right ) & \end{matrix}\right.$

[PSW]

Hơi buồn là sau khi đi vắng 3 ngày mà vẫn chưa ai giải . bài này nghiệm rất đẹp và độc

[hxthanh]

Tuần này mình khá bận, nhưng cũng xin "nhận" bài này!

[hxthanh]

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x\sqrt{x^2+2y+x+1}+4y+x+1=0 \;\;(1)\\ 2(y^3+2y-x-1)=y^2(x+1)\;\;\;\;(2)\end{cases}$

Từ $(2)$ ta có: $2(y^3+2y)=(y^2+2)(x+1)\Rightarrow 2y=x+1\;\;(3)$
Thay $(3)$ vào $(1)$, ta được phương trình:

$x\sqrt{x^2+2x+2}+3(x+1)=0 \Rightarrow \sqrt{x^2+2x+1}=\dfrac{-3(x+1)}{x}\;\;\;(4)$
Đến đây ta có $2$ hướng giải quyết:

Hướng 1: Đặt điều kiện cho $x$ rồi bình phương $2$ vế của $(4)$
Sau khi rút gọn lại ta được phương trình $\begin{cases} x^4+2x^3-7x^2-18x-9=0 \\ -1<x<0 \end{cases}$
Đến đây sử dụng phương pháp Cardano tổng quát để tìm nghiệm pt bậc 4 trên.
Kết quả là: $\boxed{x=\dfrac{\sqrt{10}-1+\sqrt{7+2\sqrt{10}}}{2}}$

Hướng 2 Đặt $x+1=\tan{t}$. Do $x+1 \in (0,1)$ nên $t\in (0,\dfrac{\pi}{4})$, ta có:
$(4)\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos{t}}=\dfrac{-3\tan{t}}{\tan{t}-1}\Leftrightarrow \tan{t}+3\sin{t}=1\;\;(5)$

(Ah...Huhm...)
(Không biết đã đúng ý tưởng của PSW chưa nhỉ?)
_____________________________________
Để mình nghĩ thêm về cái $(5)$ này ...!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 25-12-2011 - 09:50

[PSW]

bài này chỉ ở tầm ĐH thôi ; nên không cần mấy cái công thức nghiệm tổng quát

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-12-2011 - 09:52

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x\sqrt{x^2+2y+x+1}+4y+x+1=0 \;\;(1)\\ 2(y^3+2y-x-1)=y^2(x+1)\;\;\;\;(2)\end{cases}$

Từ $(2)$ ta có: $2(y^3+2y)=(y^2+2)(x+1)\Rightarrow 2y=x+1\;\;(3)$
Thay $(3)$ vào $(1)$, ta được phương trình:

$x\sqrt{x^2+2x+2}+3(x+1)=0 \Rightarrow \sqrt{x^2+2x+1}=\dfrac{-3(x+1)}{x}\;\;\;(4)$
Đến đây ta có $2$ hướng giải quyết:

Hướng 1: Đặt điều kiện cho $x$ rồi bình phương $2$ vế của $(4)$
Sau khi rút gọn lại ta được phương trình $\begin{cases} x^4+2x^3-7x^2-18x-9=0 \\ -1<x<0 \end{cases}$
Đến đây sử dụng phương pháp Cardano tổng quát để tìm nghiệm pt bậc 4 trên.
Kết quả là: $\boxed{x=\dfrac{\sqrt{10}-1+\sqrt{7+2\sqrt{10}}}{2}}$

Hướng 2 Đặt $x+1=\tan{t}$. Do $x+1 \in (0,1)$ nên $t\in (0,\dfrac{\pi}{4})$, ta có:
$(4)\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos{t}}=\dfrac{-3\tan{t}}{\tan{t}-1}\Leftrightarrow \tan{t}+3\sin{t}=1\;\;(5)$

(Ah...Huhm...)
(Không biết đã đúng ý tưởng của PSW chưa nhỉ?)
_____________________________________
Để mình nghĩ thêm về cái $(5)$ này ...!

Em nghĩ là sau bước thay $ 2y=x+1 $ Vào phương trình thứ nhất của hệ ta sẽ đương phương trình 1 ẩn sau :
$ x\sqrt{x^2+2x+2} +3x+3=0 $
Xét $ x \geq 0 $ không phải là nghiệm của phương trình .
Với $ x < 0 $ Chia cả 2 vế cho $ x^2 $ ta sẽ được :
$ -\sqrt{1+2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2})} +3(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}) =0 $
Bây giờ đặt $ t= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} $ Phương trình trở thành:
$ 3t=\sqrt{1+2t} $
Đây là một trong những phương trình chưa căn cơ bản .

[hxthanh]

Lâm làm tuyệt quá! Vậy mà mình không nghĩ ra!
________________________
"Xấu hổ quá "

[PSW]

Cách của thằng cu này còn hay hơn cách của mình nữa )