Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $\lim\limits_{n \to +\infty}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n^2} \right) \right]$

- - - - - Tặng Hưng ^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài toán: Cho $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}(x>0)$.
Tìm $$\lim_{n \to +\infty}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n^2} \right) \right]$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài toán: Cho $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}(x>0)$.
Tìm $$\lim_{n \to +\infty}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n^2} \right) \right]$$


Bài này có dành cho anh làm không Phúc.

#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài này có dành cho anh làm không Phúc.

Anh thích thì cứ chém đi anh :D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài toán: Cho $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}(x>0)$.
Tìm $$\lim_{n \to +\infty}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n^2} \right) \right]$$


Với hàm $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }}\,\,\left( {x > 0} \right)$ thì ta có đánh giá sau:
$$\boxed{x - \dfrac{{{x^2}}}{x} < f\left( x \right) < x\,,\,\,\forall x > 0}$$

Dễ dàng chứng minh đánh giá trên bằng phương pháp hàm số.


Từ đó, suy ra: $$\dfrac{k}{{{n^2}}} - \dfrac{{{k^2}}}{{2{n^4}}} < f\left( {\dfrac{k}{{{n^2}}}} \right) < \dfrac{k}{{{n^2}}}\,\,\,\,\,\left( {k = \overline {1,n} } \right)$$
$$ \Rightarrow \dfrac{{\sum\limits_{k = 1}^n k }}{{{n^2}}} - \dfrac{{\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} }}{{2{n^4}}} < \sum\limits_{k = 1}^n {f\left( {\dfrac{k}{{{n^2}}}} \right)} < \dfrac{{\sum\limits_{k = 1}^n k }}{{{n^2}}}$$
$$ \Leftrightarrow \dfrac{{n + 1}}{{2n}} - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12{n^3}}} < \sum\limits_{k = 1}^n {f\left( {\dfrac{k}{{{n^2}}}} \right)} < \dfrac{{n + 1}}{{2n}}$$
Mặt khác: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{{n + 1}}{{2n}} - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12{n^3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{1}{2}$$
Theo nguyên lí kẹp, suy ra: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\sum\limits_{k = 1}^n {f\left( {\dfrac{k}{{{n^2}}}} \right)} } \right] = \boxed{\dfrac{1}{2}}$$

#5
Anny2008

Anny2008

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
nhưng ,mà cụ thể là cm ntn
với lại làm sao ma tìm dc đánh giá như thế hả anh
giúp em với
cảm ơn anh nhiều
$$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\leq \frac{a^2+b^2}{a+b}$$

#6
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

nhưng ,mà cụ thể là cm ntn
với lại làm sao ma tìm dc đánh giá như thế hả anh
giúp em với
cảm ơn anh nhiều


Chứng minh: $$\boxed{x - \dfrac{{{x^2}}}{2} < f\left( x \right) < x\,\,\left( {f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }},x > 0} \right)}$$
Ta có: $$\forall x > 0 \Rightarrow \sqrt {x + 1} > 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }} < 1 \Rightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }} < x \Rightarrow f\left( x \right) < x\,\,\,\,\,\,(1)$$
Mặt khác: Xét hàm số $$g\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }} - \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right)\,\,\,\left( {x > 0} \right)$$

$g'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} }}} \right] > 0,\,\,\forall x > 0 \Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Suy ra: $$g\left( x \right) > g\left( 0 \right),\,\forall x > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }} - \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }} > 1 - \dfrac{x}{2},\,\,\forall x > 0$$
$$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }} > x - \dfrac{{{x^2}}}{2} \Leftrightarrow f\left( x \right) > x - \dfrac{{{x^2}}}{2},\,\,\forall x > 0\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $$\boxed{x - \dfrac{{{x^2}}}{2} < f\left( x \right) < x\,,\,\,\forall x > 0}$$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Tặng Hưng ^_^

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh