Chủ đề này có 3 trả lời

[thaitronganh1992]

A=$\int_{1}^{\sqrt{3}}\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}}dx$

[hungchu]

HD: Dùng tptp
Đặt $x=\sqrt{1+x^2} => du=\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$
$dv=\dfrac{dx}{x^2}=> v=\dfrac{-1}{x}$
$=>A=\dfrac{-\sqrt{1+x^2}}{x}|_{1}^{\sqrt{3}} + \int\limits_{1}^{\sqrt{3}}\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$
Đặt $x=tant$ tính con tích phân còn lại là ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchu: 23-12-2011 - 22:05

[duongtoi]

Tính nhầm $du$ rồi. $du=\dfrac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}$ mới đúng.

[dark templar]

Cách giải khác,sử dụng hoàn toàn lượng giác:
Đặt $x=\tan{t}\left(t \in \left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right] \right) \rightarrow dx=\dfrac{dt}{\cos^2{t}}$
$x=1 \rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}$
$x=\sqrt{3} \rightarrow t=\dfrac{\pi}{3}$
Ta có:
$$A=\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sqrt{1+\tan^2{t}}dt}{\cos^2{t}.\tan^2{t}}=\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{dt}{\cos{t}.\sin^2{t}}$$
Lại đổi biến qua $u=\sin{t} \rightarrow du=\cos{t}dt$
$t=\dfrac{\pi}{4} \rightarrow u=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$t=\dfrac{\pi}{3} \rightarrow u=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Suy ra:
$$A=\int_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\dfrac{du}{u^2(1-u^2)}=\int_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\left(\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{1-u^2} \right)du$$
Đến đây là các tích phân cơ bản rồi,bạn tự tính được rồi nhé