Bài 10: Cho $a \in \{1,2,...,9\}$, hãy tính: $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}_{n}}{10^n}$$
Chọn đội tuyển ĐH Cần Thơ 2012
Bài 11: Cho $({a_n}) \subset R$ là dãy truy hồi xác định bởi công thức: $a_1=1, a_{n+1}=\frac{2+a_n}{1+a_n}, n \in N$
Chứng minh rằng dãy $({a_n})$ là dãy cauchy và tìm giới hạn của nó.
Chọn đội tuyển ĐH Cần Thơ 2012
Đề gì cho những 2 câu dãy số, ngon nhỉ
Bài 10:$$a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}=a+(a+10a)+...+(a+10a+...+10^{n-1} a)$$
$$=a \sum_{i=0}^{n-1} (n-i)10^i=a\left[ n\sum_{i=0}^{n-1}10^i-10\sum_{i=1}^{n-1}i^{i-1} \right]$$
Xét $f(x)=\sum_{i=1}^{n-1} ix^{i-1} \;\;, x \in \mathbb{R}_+^*$
$$\int_0^x f(t) dt= \sum_{i=1}^{n-1}x^i=\dfrac{x^n-x}{x-1}$$
$$\Rightarrow f(x)=\dfrac{(n-1)x^n-nx^{n-1}+1}{(x-1)^2}$$
$$\Rightarrow f(10)=\dfrac{(n-1)10^n-n10^{n-1}+1}{81}$$
Do đó $$a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}=a \left[ n\dfrac{10^n-1}{9}-\dfrac{(n-1)10^{n+1}-n10^n+10}{81} \right]$$
$$=\dfrac{10^{n+1}-9n-10}{81}a$$
Suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}_{n}}{10^n}=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{10^{n+1}-9n-10}{81.10^n}a$$
$$=\dfrac{10}{81}a$$
Bài 11:Xét $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1} \;\;, x \in \mathbb{R}, x \ge 1$
$$|f'(x)|=\dfrac{1}{(x+1)^2} \le \dfrac{1}{4} \;\; \forall x ge 1 $$
Do đó, theo định lý Lagrange, $\forall x>y \ge 1,\; \exists z \in (x;y) \;,\;|f(x)-f(y)|=|(x-y)||f'(z)| \le |x-y| \dfrac{1}{4}$
Dễ thấy $a_n>0 \;\;, \forall n \in \mathbb{N}^* $
$\Rightarrow a_{n+1}=1+\dfrac{1}{1+a_n} \ge 1 \;\;,\forall n \in \mathbb{N}^*$
Ta có: $$\forall n>2\;, \;|a_n-a_{n-1}|=|f(a_{n-1})-f(a_{n-2})| \le |a_{n-1}-a_{n-2}| \dfrac{1}{4}$$
$$\le...\le |a_2-a_1|\dfrac{1}{4^{n-2}}=\dfrac{1}{2.4^{n-2}}$$
Với $n, p$ là các số tự nhiên dương, ta có
$$|a_{n+p}-a_n| \le |a_{n+p}-a_{n+p-1}|+|a_{n+p-1}-a_{n+p-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|$$
$$\le \dfrac{1}{2.4^{n+p-2}}+\dfrac{1}{2.4^{n+p-3}}+...+\dfrac{1}{2.4^{n-1}} < \dfrac{p}{2.4^{n-1}} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$$
Do đó, $$\forall \epsilon>0 , \exists n_0>0 \;,p \ge 1 , \forall n>n_0 \;,|a_{n+p}-a_n|< \dfrac{p}{2.4^{n-1}}<\epsilon $$
Vậy $(a_n)_n$ là dãy Cauchy .
Do $(a_n)_n$ là dãy Cauchy nên hội tụ. Đặt $l=\lim_{n \to +\infty} a_n \ge 0$
Cho $n \to +\infty $, ta có $l=\dfrac{l+2}{l+1}$ $\Leftrightarrow l=\sqrt{2} $