Đến nội dung


Hình ảnh

Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

bất đẳng thức tích phân hàm liên tục dãy số chuỗi số đa thức phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 137 trả lời

#21 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-01-2013 - 19:53

Tiếp tục là các bài toán olimpic sv Ngoại thương 2011:

Bài 15: Cho $\mathbb{I}$ là một khoảng trong $\mathbb{R}$ và $a,b\in \mathbb{I},a< b$.Hàm $f:\mathbb{I}\to\mathbb{R}$ khả vi trên $\mathbb{I}$.Giả sử $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0,f'\left(a\right)
>0,f'\left(b\right)>0$.Chứng minh rằng $\exists c_1,c_2,c_3\in\left(a;b\right),c_1<c_2<c_3$ sao cho $f\left(c_2\right)=0,f^{'}\left(c_1\right)=f^{'}\left(c_3\right)=0$

Bài 16: Cho $a\in\mathbb{R_{+}^{*}}$,hàm $f:\left[0,a\right]\to\mathbb{R}$ là ánh xạ thuộc lớp $\mathbb{C^{1}}$ sao cho $f^{'}\left(x\right)>0,\forall x\in\left[0,a\right]$ và $f\left(0\right)=0$

a)Chứng minh rằng $\forall x\in\left[0,a\right]$ thì $\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=xf\left(x\right)$
(ở đó $f^{-1}:\left[0,f\left(a\right)\right]\to\mathbb{R}$ là hàm ngược của $f$)

b)Từ đo suy ra $\forall \left(x,y\right)\in\left[0,a\right]$x$\left[0,f\left(a\right)\right],\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{y} f^{-1}\left(t\right)dt\geq xy$


Bài 17:Cho $f\left(x\right)=x^5+x+1$.Giải phương trình trên $\mathbb{R}$ :$f\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$


Bài 15:

Ta có $$\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)>0$$

$$\Rightarrow \exists h_1>0\; \text{đủ nhỏ},a<a+h_1 < b \;,\; f(a+h_1)>f(a)$$
Vậy $\exists x_1 \in (a;b) \;, \; f(x_1)>0$

$$\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(b-h)-f(b)}{-h}=f'(b)>0$$

$$\Rightarrow \exists h_2>0\; \text{đủ nhỏ},\;a<a+h_2<b \;,\; f(b-h_2)<f(b)$$
Vậy $\exists x_2 \in (a;b) \;\;, f(x_2)<0$

Do đó $\exists c_2 \in (x_1;x_2) \;, f(c_2)=0$

Từ đây, theo đl Rolle suy ra $\exists c_1 \in (a;c_2) \;, f'(c_1)=0 $ , $\exists c_3 \in (c_2;b) \;, f'(c_3)=0$

Hiển nhiên có $c_1<c_2<c_3$

Vậy ta có đpcm.

Bài 16:

a) Do $f(x) \in C^1 \Rightarrow f^{-1}(x) \in C^1 \;, \forall x \in [0;1] $

Xét $\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt$

Đổi biến $u=f^{-1}(t)$ . Do $f'(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến trên $[0;a]$, do đó $f^{-1}(x)$ cũng đồng biến trên $[0;a]$

$t=0 \Rightarrow u=f^{-1}(0)=0 \;\;, t=f(x) \Rightarrow u=f^{-1}(f(x))=x$

$dt=f'(f^{-1}(t))du=f'(u)du$

Suy ra $$\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=\int_0^x uf'(u)du=\int_0^x tf'(t)dt$$

Vậy $$\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=\int_0^x (f(t)+tf'(t))dt$$

$$=\int_0^x (tf(t))'dt=xf(x)$$

b)

Như câu a), ta có $f^{-1}(x) \ge 0\;\;, \forall x \in [0;1] $

$\forall y \in [0;f(a)] \;, \exists z \in [0;a] \;, y=f(z)$

Bất đẳng thức tương đương với

$$\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt \ge xf(z)$$

Nếu $z>x \ge 0 \Rightarrow f(z)>f(x)$

$$\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt=\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(x)} f^{-1}(t)dt+\int_{f(x)}^{f(z)} f^{-1}(t)dt$$

$$=xf(x)+\int_{f(x)}^{f(z)} f^{-1}(t)dt \ge xf(x)+\int_{f(x)}^{f(z)}x dt =xf(x)+x(f(z)-f(x))=xf(z)$$

Nếu $z \le x \le a \Rightarrow f(z)<f(x)$

$$\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt=\int_0^z f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt+\int_z^x f(t)dt$$

$$=zf(z)+\int_z^x f(t)dt \ge zf(z)+\int_z^x f(z)dt $$

$$\ge z(f(z)+f(z)(x-z)=xf(z)$$

Vậy ta luôn có $$\forall \left(x,y\right)\in\left[0,a\right] \times \left[0,f\left(a\right)\right],\;\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{y} f^{-1}\left(t\right)dt\geq xy$$

Bài 17:

Trước tiên, dễ thấy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . $f'(x)=5x^4+1 >0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$ suy ra $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Suy ra $f(x)$ là song ánh, do đó tồn tại hàm ngược $f^{-1}(x)$

$$f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(f(x))=x$$

$$\Leftrightarrow (x^5+x+1)^5+x^5+2=0$$

Xét $g(x)=(x^5+x+1)^5+x^5+2 \;\;, x \in \mathbb{R}$

$$g'(x)=5(5x^4+1)(x^5+x+1)^4+5x^4 >0 \;\;, \forall x \in \mathbb{R} $$

Suy ra $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$,do đó $g(x)=0$ có không quá một nghiệm.

Dễ thấy $g(-1)=0$, suy ra $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g(x)=0$.

Thật ra dùng nhận xét mọi giao điểm của đồ thị $f$ và đồ thị $f^{-1}$ luôn nằm trên đường $f(x)=x$ cho lời giải đơn giản hơn nhiều.

P/s: Dễ hơn đề vòng 2 của BKHCM cùng năm đó.

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#22 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-01-2013 - 22:49

Mới lượm nhặt trên math.stackexchange
Bài 18:
Cho hàm số được định nghĩa

$$f(x)=\begin{cases} 0 \;\;, x \neq \mathbb{Q} \\ \dfrac{1}{q} \;\;, x \in \mathbb{Q}, \text{với}\; (p;q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_+^*, (p;q)=1, x=\dfrac{p}{q} \end{cases}$$

Chứng minh $f$ khả tích trên $[0;1]$ và $\int_0^1 f(x)dx=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-01-2013 - 12:56

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#23 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-01-2013 - 23:04

Bài 19: (thật ra tương tự câu 14)

Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục sao cho $\forall x \in \mathbb{R} , \int_0^1 f(xt)dt=0$

Chứng minh $$f(x)=0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#24 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 19-01-2013 - 10:37

P/s: Dễ hơn đề vòng 2 của BKHCM cùng năm đó.

Bạn có thể post một số bài hay của BKHCM các năm và lời giải (nếu có) không ?

#25 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 20-01-2013 - 00:31

Bài này bạn làm chưa sử dụng giả thiết hàm nghịch biến và khi đặt biến $t=x+f\left(1\right)$ thì miền giá trị của $t$ không phải là $\left(0,+\infty\right)$ nên theo mình lời giải chưa hoàn chỉnh.Bạn có thể bổ sung thêm không?



Mình đã sửa lại rồi đó.

#26 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 21-01-2013 - 20:09

Bài 20:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R} $ , $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ , $f$ đơn điệu giảm và $g([a;b]) \subset [0;1]$ . Đặt $c=\int_a^b g(x) dx $

Chứng minh: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#27 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 21-01-2013 - 20:15

Bài 21:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f \in C^1([a;b])$ . Đặt $m=\min_{[a;b]} |f'| ; \; M=\max_{[a;b]} |f'|$

Chứng minh:

$$\dfrac{(b-a)^2m^2}{12} \le \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)dx -\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx \right)^2 \le \dfrac{(b-a)^2M^2}{12}$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#28 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 22-01-2013 - 16:53

Bài 22: Chứng minh dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của nó:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} > 0;\,{x_1} > 0\\
{x_n} = \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 1}}}} + \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 2}}}}
\end{array} \right.\]

#29 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 24-01-2013 - 20:19

Bài 22: Chứng minh dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của nó:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} > 0;\,{x_1} > 0\\
{x_n} = \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 1}}}} + \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 2}}}}
\end{array} \right.\]

xét dãy $a_{n+2}=2\sqrt[2011]{a_{n+1}}$
và $a_{0}=a_{1}=max(x_{0},x_{1},\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2})$

và $b_{n+2}=2\sqrt[2011]{b_{n+1}}$

$b_{0}=b_{1}=min(x_{0},x_{1},\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2})$

ta có : $b_{n}\leq x_{n} \leq a_{n}$ .
dãy $b_{n}$ tăng và hội tụ đên $\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2}$
dãy $a_{n}$ giảm ht và $\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2}$
từ đó ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 25-01-2013 - 19:55

NGU
Hình đã gửi

#30 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 27-01-2013 - 02:06

Consider $F(x)=\dfrac{1}{x} \int_0^{x}f(t)dt$. We have $f(x)=(xF(x))'$ and
$\int_0^{1}f(x)dx=(xF(x))|_0^{1}=F(1)$
$2\int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{3}{4}}f(x)dx=\dfrac{3}{2}F(\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}F(\dfrac{1}{4}) $.
Implies
$3F(\dfrac{3}{4} )-F(\dfrac{1}{4} )=2F(1)$
$\Leftrightarrow F(\dfrac{3}{4})-F(\dfrac{1}{4})=2(F(1)-F(\dfrac{3}{4}))$
So, there exist $\theta_{1}\in (\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4})$ and $\theta_{2}\in (\dfrac{3}{4},1)$ such that
$F'(\theta_1)\dfrac{1}{2}=2.F'(\theta_2)\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow F'(\theta_1)= F'(\theta_2)$
we have $\theta\in (\theta_1,\theta_2)$ such that $F''(\theta)=0$ or
$\dfrac{2}{\theta^3} \int_0^{\theta}f(t)dt-\dfrac{2}{\theta^2}f(\theta)+\dfrac{1}{\theta}f'(\theta)=0 $
Next, assignment $H(x)=2\int_0^{x}f(t)dt-2xf(x)+x^2f'(x)$
$\Rightarrow H(0)=0, H(\theta)=0$
$\exists x_0\in (0,\theta):H'(x_0)=0$
But $H'(x)=x^2f''(x)$
Final $f''(x_0)=0$


Ngoài lời giải trên còn có ít nhất 3 cách chứng minh cho bài toán trên

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#31 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 27-01-2013 - 09:08

Bài này có lâu rồi nhưng thấy hay mình post cho mọi người trao đổi


Bài 23: Cho $P,Q$ là hai đa thức hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực thỏa mãn $P\left( {1 + x + Q(x) + {Q^2}(x)} \right) = Q\left( {1 + x + P(x) + {P^2}(x)} \right)$ với mọi $x \in R $. Chứng minh rằng $P \equiv Q$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangnamneu: 27-01-2013 - 09:09

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#32 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 27-01-2013 - 20:06

Chợt nhớ một bài sáng tác cách đây hai năm :D

Bài 24: Gọi $D$ là tập các hàm số liên tục từ $[0;1]$ vào $[0;1]$ .

Tìm $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $\forall f \in D , \exists x_0 \in [0;1]$ thỏa $nf(x_0)=(1-x_0) \left[ f(x_0)+f(1-x_0) \right] $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2013 - 20:08

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#33 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 28-01-2013 - 19:48

Chợt nhớ một bài sáng tác cách đây hai năm :D

Bài 24: Gọi $D$ là tập các hàm số liên tục từ $[0;1]$ vào $[0;1]$ .

Tìm $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $\forall f \in D , \exists x_0 \in [0;1]$ thỏa $nf(x_0)=(1-x_0) \left[ f(x_0)+f(1-x_0) \right] $



Với mọi $f \in D$nên xét $f(x) = x$ để tồn tại ${x_0} \in \left[ {0,1} \right]$ sao cho $nf({x_0}) = \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {f({x_0}) + f(1 - {x_0})} \right) \Rightarrow n{x_0} = \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {{x_0} + 1 - {x_0}} \right) = 1 - {x_0}$
$\Rightarrow n = \frac{1}{{1 + {x_0}}} \in \left[ {\frac{1}{2},1} \right]$.
Nhưng do $n \in {N^*}$ nên $n = 1$.
Ta chứng minh với $n = 1$ thỏa mãn bài toán.
Thật vậy xét hàm số
$g(x) = xf(x) - \left( {1 - x} \right)f\left( {1 - x} \right)$ liên tục trên $\left[ {0,1} \right]$ ta có
$g(0) = - f(1)$ và $g(1) = f(1)$ suy ra $g(0)g(1) = - {\left( {f(1)} \right)^2} \le 0$ suy ra tồn tại ${x_0} \in \left[ {0,1} \right]$ sao cho $g({x_0}) = 0 \Rightarrow f({x_0}) = \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {f({x_0}) + f\left( {1 - {x_0}} \right)} \right)$.

Bài toán được giải hoàn toàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 30-01-2013 - 17:23

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#34 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 29-01-2013 - 14:40

Hai bài sau khá hay
Bài 25:Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $$ f \left( f\left( x \right)\right)=xf\left(x\right), \forall x \in \mathbb{R} $$
Bài 26::Cho dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_0>0,x_1>0,x_{n+2}=\dfrac{2}{x_{n+1}+x_n},n\in\mathbb{N}$.Tìm $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} x_n$.
Hỏi thêm :Nếu thay số $2$ ở vế phải ở công thức xác định dãy $x_n$ thành $x_{n+2}=\dfrac{a}{x_{n+1}+x_n},a>0$ thì bài toán thay đổi thế nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ablrise: 29-01-2013 - 16:08


#35 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 29-01-2013 - 17:06

Bài 25:

http://diendantoanho...htxfleftxright/

#36 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 30-01-2013 - 09:26

Theo mình cách giải đấy chưa đúng.Bởi vì khi dùng dãy số để xác định dạng hàm $f(x)$ thì số $c$ không phải là hằng,nó là một hàm nào đó có biến là $x$.

#37 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 30-01-2013 - 09:45

Bài 9:

Cho $f: [0;1] \longrightarrow \mathbb{R}$ , $f$ liên tục trên $[0;1]$ . Chứng minh

$$\lim_{n \to 0} \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}=\frac{\pi}{2}f(0) $$


Bài 20:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R} $ , $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ , $f$ đơn điệu giảm và $g([a;b]) \subset [0;1]$ . Đặt $c=\int_a^b g(x) dx $

Chứng minh: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$


Bài 21:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f \in C^1([a;b])$ . Đặt $m=\min_{[a;b]} |f'| ; \; M=\max_{[a;b]} |f'|$

Chứng minh:

$$\dfrac{(b-a)^2m^2}{12} \le \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)dx -\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx \right)^2 \le \dfrac{(b-a)^2M^2}{12}$$


Bạn có post lời giải các bài trên được không? Theo mình riêng bài 9 cần tính giới hạn khi $n\to+\infty$,bạn xem giúp.

#38 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 30-01-2013 - 13:04

Theo mình cách giải đấy chưa đúng.Bởi vì khi dùng dãy số để xác định dạng hàm $f(x)$ thì số $c$ không phải là hằng,nó là một hàm nào đó có biến là $x$.


Mình Thử lại được $c=0$ và có thể viết lại cái hàm đó là:


\[\left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\\
f\left( x \right) = {x^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}}
\end{array} \right.\]

#39 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 30-01-2013 - 13:25

Bài 9:

Ta có:

\[I_n = \int\limits_0^1 {\frac{{nf\left( x \right)dx}}{{1 + {n^2}{x^2}}}} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( {\arctan nx} \right)} = \left. {f\left( x \right).\arctan nx} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} \]

\[{I_n} = f\left( 1 \right).\arctan n - \int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} \]

Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân ta có:

Tồn tại $0<c<1$ sao cho:

\[\int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} = \arctan nc\int\limits_0^1 {f'(x)dx} = \arctan nc\left( {f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)} \right)\]

Khi đó:

\[{I_n} = f\left( 1 \right).\arctan n - \arctan nc\left( {f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)} \right)\]

Suy ra: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {I_n} = \frac{\pi }{2}f\left( 0 \right)\]

-------------------------------------------------------------------------------------

Anh Đạt chắc đánh nhầm thôi. :D

#40 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 30-01-2013 - 17:39

Bài 9:

Ta có:

\[I_n = \int\limits_0^1 {\frac{{nf\left( x \right)dx}}{{1 + {n^2}{x^2}}}} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( {\arctan nx} \right)} = \left. {f\left( x \right).\arctan nx} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} \]

-------------------------------------------------------------------------------------

Anh Đạt chắc đánh nhầm thôi. :D.


Gõ nhầm thiệt, đúng là $n \to +\infty$

@Việt: Bài giải tưởng chừng đúng nhưng lại sai từ dòng đầu tiên!

Lý do: Chỉ có giả thiết $f$ liên tục trên $[0;1]$ nên chưa chắc nó khả vi, do đó không thể đi bằng con đường qua $f'$ được. Hơn nữa, em xem lại định lý trung bình tích phân loại 2, điều kiện ở đây không thể sử dụng được, kể cả có tồn tại $f'$ hay không.

@ablrise: Ở quê tối muỗi quá nên chắc không post lời giải được, hẹn ngày mai vậy.

Tặng mọi người bài mới sáng tác lúc sáng:

Bài 27:

Cho $f: [0;1] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục và giảm trên $[0;1]$. Chứng minh

$$f(x) \le \int_0^1 f(t)dt+\dfrac{1}{2} \int_0^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6}$$

Chặn trên bởi một đa thức ^^. Khó hơn tí, tìm trường hợp đẳng thức :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 30-01-2013 - 20:47

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức tích phân, hàm liên tục, dãy số, chuỗi số, đa thức, phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh