Đến nội dung

Hình ảnh

Một số bất đẳng thức sử dụng Cauchy-Schwarz

* * * - - 2 Bình chọn 123132

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
truongson463

truongson463

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
Nhờ mọi người giải kĩ hộ
Bài 1: Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thoả:
\[\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + {c^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{c^2} + {a^2} + 1}} \geqslant 1\]
CMR: \[ab + bc + ca \leqslant 3\]
Bài 2: Cho 3 số thưc dương a,b,c thoả: a+b+c=3
CMR: \[\dfrac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + 2{c^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2{a^2}}} \geqslant 1\]
Bài 3: Cho 3 số thưc dương a,b,c thoả: ab+bc+ca>0
CMR: \[\dfrac{{2{a^2} - bc}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \dfrac{{2{b^2} - ac}}{{{a^2} - ac + {c^2}}} + \dfrac{{2{c^2} - ab}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} \geqslant 3\]
Bài 4: cho a,b,c dương và \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\]
Tìm min P= \[\dfrac{a}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{b}{{{a^2} + {c^2}}} + \dfrac{c}{{{a^2} + {b^2}}}\]
Bài 5: Cho a,b,c là số thực dương thỏa: \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant 1\]
CMR: \[({a^2} + {b^2} + abc)({b^2} + {c^2} + abc)({c^2} + {a^2} + abc) \geqslant 3abc{\left( {a + b + c} \right)^2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 28-12-2011 - 19:51


#2
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Bài 4 bạn tham khảo tại đây: http://diendantoanho...showtopic=66593



BĐT đã cho tương đương:

$\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{a(1-a^2)}+\dfrac{b^2}{b(1-b^2)}+\dfrac{c^2}{c(1-c^2)}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta sẽ chứng minh:
$\dfrac{a^2}{a(1-a^2)}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$\Leftrightarrow a(1-a^2)\leq \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow a^2(1-a^2)^2\leq \dfrac{4}{27}$

Ta có:$a^2(1-a^2)^2=\dfrac{1}{2}(2a^2)(1-a^2)(1-a^2)\leq \dfrac{1}{2}.[\dfrac{2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)}{3}]^3=\dfrac{4}{27}$

Do đó:$\dfrac{a}{1-a^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Làm tương tự rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 27-12-2011 - 17:30

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#3
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Đề nghị Sơn gõ LaTex lên tiêu đề. Chỉ cần gõ câu 1 thôi cũng được!
@@alex_hoang:Mình nghĩ với một số lượng bài tập kha khá như thế này thì để tiêu đề như vậy có thể chấp nhận được Việt châm trước tí nha,lần sau mình sẽ nhắc nhở bạn ấy gõ từng bài ra từng chủ đề riêng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 28-12-2011 - 19:53

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#4
Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết

Bài 2: Cho 3 số thưc dương a,b,c thoả: a+b+c=3
CMR: \[\dfrac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + 2{c^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2{a^2}}} \geqslant 1\]


Áp dụng CS
\[\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^4}}}{{{a^3} + 2{a^2}{b^2}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2}}}\]
Nên cần chứng minh

\[\begin{array}{l}
{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} \\
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} \\
\end{array}\]
Cũng theo CS
\[\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)^3}\]
Và tiếp tục là CS
\[{3^2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3} \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3\]
Nên

\[\begin{array}{l}
\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)^2} \\
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} \\
\end{array}\]
Bài toán được chứng minh.

#5
PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
1/Theo Cauchy-Schwarz , ta có :
$(c^2+2)(a^2+b^2+1) \geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \dfrac{c^2+2}{(a+b+c)^2} \geq \dfrac{1}{a^2+b^2+1}$
Tương tự :
$\Rightarrow \dfrac{\sum a^2 +6}{(\sum a)^2} \geq \sum \dfrac{1}{a^2+b^2+1} \geq 1 $
$\Rightarrow \sum a^2+ 6 \geq (\sum a)^2$
$\Rightarrow \sum ab \leq 3 $
$Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 28-12-2011 - 21:12


#6
huynhtanduyan

huynhtanduyan

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

ai có tài liệu về bdt am-gm vs c.s ko ạ cho e xin






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh