Đến nội dung

Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#1101
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}$

Ta có : Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{3}{a+b}=\frac{1}{\frac{a}{3}+\frac{b}{3}}=\frac{1}{\frac{a}{3}+\frac{b}{6}+\frac{b}{6}}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{3}{a}+\frac{12}{b} \right )$

CMTT:..

Ta có : $\frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{3}{a}+\frac{12}{b}+\frac{6}{b}+\frac{18}{c}+\frac{9}{c}+\frac{6}{a} \right )=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1102
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Bài 501 : Cho các số thực bất kỳ a,b,c.CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

p/s : sao mọi người không đánh STT của bài cho dễ theo dõi nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 06-04-2013 - 19:35

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#1103
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $x,y\geq 0,x^{2}+y^{2}=1$. Cmr : $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}<1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1104
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Bài 501 : Cho các số thực bất kỳ a,b,c.CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

p/s : sao mọi người không đánh STT của bài cho dễ theo dõi nhỉ

BĐT$\Leftrightarrow (\sum a^2)\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$.

Vì $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

nên ta chỉ cần cm $\left [ \sum (a-b)^2 \right ]\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{27}{2}$ (1).

Đặt $x=a-b, y=b-c\Rightarrow c-a=-(x+y)$. BĐT (1)$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)\left [ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \right ]\geq \frac{27}{4}$. Theo BĐT AM-GM:$x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$.

Nhân 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#1105
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Bài 501 : Cho các số thực bất kỳ a,b,c.CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

p/s : sao mọi người không đánh STT của bài cho dễ theo dõi nhỉ

BĐT$\Leftrightarrow (\sum a^2)\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$. Vì $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

nên ta chỉ cần cm $\left [ \sum (a-b)^2 \right ]\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{27}{2}$ (1).

Đặt $x=a-b, y=b-c\Rightarrow c-a=-(x+y)$. BĐT (1)$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)\left [ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \right ]\geq \frac{27}{4}$. Theo BĐT AM-GM:$x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$.

Nhân 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#1106
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Cho $x,y\geq 0,x^{2}+y^{2}=1$. Cmr : $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}<1$

Nhỏ hơn 1 có dầu bằng mà bạn,chẳng hạn x=0,y=1.

Còn vế kia thì Cauchy 3 số:

$\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}+x\geq \frac{3x^{2}}{\sqrt{2}}$

.Sau đó làm đơn giản thui. :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 11-04-2013 - 22:08


#1107
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $a,b,c$. Tìm min của $P=x^{2}+y^{2}-xy-x+y+1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1108
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cmr: $\frac{1}{3}\leq \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\leq 3$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1109
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Cmr: $\frac{1}{3}\leq \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\leq 3$

Đặt $\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=A$

$\Longleftrightarrow \dfrac{(1-A)x^2+(A+1)x+(1-A)}{x^2-x+1}=0$

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi $

$(A+1)^2-4(1-A)^2 \ge 0$

$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3} \le A \le 3$

--

Hoặc là bạn có thể chuyển vế qua ra hằng đẳng thức luôn đúng.


"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#1110
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Làm cách này cũng đc: 

$\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}=\frac{x^{2}-x+1+2x^{2}+2-4x}{3(x^{2}-x+1)}\geq \frac{1}{3}$

$\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}=\frac{3(x^{2}-x+1-2(x+1)^{2})}{x^{2}-x+1}\leq 3$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1111
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Cho x, y, z $> 0$ thõa mãn x+y+z=$18\sqrt{2}$. Tìm max $A=\sum \frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}$


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#1112
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

cho a,b,c dương tìm giá trị lớn nhất( biểu diễn dưới dạng hệ thức liên hệ với tổng) của biểu thức $a^{2}-ab+b^{2}$


 B.F.H.Stone


#1113
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Cho x, y, z $> 0$ thõa mãn x+y+z=$18\sqrt{2}$. Tìm max $A=\sum \frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}$

$\frac{1}{\sqrt{x}(y+z)}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x(y+z)}}$

Sau đó Cauchy dưới mẫu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 18-04-2013 - 18:56


#1114
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $x,y,z> 0,x+y+z\leq \frac{3}{2}.Cmr: \sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1115
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1, Cmr: a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sqrt{12abc}\leq 1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1116
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1, Cmr: a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sqrt{12abc}\leq 1$

BĐT$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sqrt{12abc}\leq (a+b+c)^2\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc}\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2\geq 3abc=3abc(a+b+c)$

(hiển nhiên đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 28-04-2013 - 21:40

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh