Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm nguyên hàm $$I=\int_{}^{}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{1+\sqrt[3]{x}}dx$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
wonderboy

wonderboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
Tìm nguyên hàm
$$I=\int_{}^{}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{1+\sqrt[3]{x}}dx$$

#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Tìm nguyên hàm
$$I=\int_{}^{}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{1+\sqrt[3]{x}}dx$$


Đặt $u = \sqrt[6]{x} \Rightarrow {u^6} = x \Rightarrow 6{u^5}du = dx$.

Khi đó: $$\int {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{1 + \sqrt[3]{x}}}dx = \int {\dfrac{{\left( {{u^3} - 1} \right)6{u^5}du}}{{1 + {u^2}}} = 6\int {\dfrac{{{u^8} - {u^5}}}{{1 + {u^2}}}} } } du$$
$$ = 6\int {\left( {{u^6} - {u^4} - {u^3} + {u^2} + u - 1 + \dfrac{{u + 1}}{{{u^2} + 1}}} \right)du} $$
$$ = 6\left( {\dfrac{{{u^7}}}{7} - \dfrac{{{u^5}}}{5} - \dfrac{{{u^4}}}{4} + \dfrac{{{u^3}}}{3} + \dfrac{{{u^2}}}{2} - u} \right) + 3\int {\dfrac{{d\left( {{u^2} + 1} \right)}}{{{u^2} + 1}}} + 6\int {\dfrac{{du}}{{{u^2} + 1}}} $$
Lại có: $$\int {\dfrac{{d\left( {{u^2} + 1} \right)}}{{{u^2} + 1}}} = \ln \left( {{u^2} + 1} \right) + C;\,\,\int {\dfrac{{du}}{{{u^2} + 1}}} = arctgu + C$$
Do đó: $$6\int {\dfrac{{{u^8} - {u^5}}}{{1 + {u^2}}}} du = 6\left( {\dfrac{{{u^7}}}{7} - \dfrac{{{u^5}}}{5} - \dfrac{{{u^4}}}{4} + \dfrac{{{u^3}}}{3} + \dfrac{{{u^2}}}{2} - u} \right) + 3\ln \left( {{u^2} + 1} \right) + 6arctgu + C$$
Từ đó thay $u = \sqrt[6]{x}$ vào ta tìm được $\int {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{1 + \sqrt[3]{x}}}dx} $.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh