Cho A là ma trận trực giao, nghĩa là $A.A^{T}=I_{n}$ . Chứng minh giá trị $det\left ( A \right )=1$ hay $det\left ( A \right )=-1$
Cho A là ma trận trực giao, nghĩa là $A.A^{T}=I_{n}$ . Chứng minh giá trị $det\left ( A \right )=1$ hay $det\left ( A \right )=-1$
Started By cutidanbau, 04-01-2012 - 21:00
#2
Posted 07-01-2012 - 10:33
fghost
-
- Thành viên
-
- 227 posts
Thượng sĩ
Bài này dễ nếu chấp nhận $det(AB)=det(A)det(B)$ và $det(A)=det(A^T)$.
$$det(A A^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2=det(I_n)=1 \Rightarrow det(A)=1 \vee det(A)=-1$$
Để thấy tính chất thứ 2, dễ nhận thấy ta có thể khai triển định thức theo hàng dọc hay hàng ngang, của ma trận, nên $A$ và $A^T$ có cùng giá trị định thức.
Còn tính chất thứ 1, khó thấy hơn, mình ko nghĩ ra và đọc lời giải cũng ngờ ngợ.
$$det(A A^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2=det(I_n)=1 \Rightarrow det(A)=1 \vee det(A)=-1$$
Để thấy tính chất thứ 2, dễ nhận thấy ta có thể khai triển định thức theo hàng dọc hay hàng ngang, của ma trận, nên $A$ và $A^T$ có cùng giá trị định thức.
Còn tính chất thứ 1, khó thấy hơn, mình ko nghĩ ra và đọc lời giải cũng ngờ ngợ.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
