Đến nội dung

Hình ảnh

Tổng hợp các bài toán Tích phân

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 59 trả lời

#41
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Bài 16
Tớ xin giải bài 16 như sau
$$I = \int_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}{e^x}dx}  = f\left( x \right)*g\left( x \right)$$
Trong đó $\left\{\begin{matrix} f(x)=e^x\\g(x)=\frac{x^n}{n!} \end{matrix}\right.$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ta có
$$\left\{ \begin{gathered} L\left( {f\left( x \right)} \right) = F\left( s \right) = \frac{1}{{{s^{n + 1}}}} \hfill \\ L\left( {g\left( x \right)} \right) = G\left( s \right) = \frac{1}{{s - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow F\left( s \right).G\left( s \right) = \frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}} \Rightarrow I = {L^{ - 1}}\left\{ {\frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}}} \right\}$$
Tới đây thì dễ rồi



#42
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài 16
Tớ xin giải bài 16 như sau
$$I = \int_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}{e^x}dx}  = f\left( x \right)*g\left( x \right)$$
Trong đó $\left\{\begin{matrix} f(x)=e^x\\g(x)=\frac{x^n}{n!} \end{matrix}\right.$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ta có
$$\left\{ \begin{gathered} L\left( {f\left( x \right)} \right) = F\left( s \right) = \frac{1}{{{s^{n + 1}}}} \hfill \\ L\left( {g\left( x \right)} \right) = G\left( s \right) = \frac{1}{{s - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow F\left( s \right).G\left( s \right) = \frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}} \Rightarrow I = {L^{ - 1}}\left\{ {\frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}}} \right\}$$
Tới đây thì dễ rồi

Spoiler

Bài này đơn giản chỉ là sử dụng tích phân từng phần:

 

\[\begin{array}{rcl}{I_n} &=& \int\limits_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}{e^x}dx}  = \int\limits_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}d\left( {{e^x}} \right)} \\&=& \left. {\frac{{{e^x}{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}} \right|_0^t + \int\limits_0^t {{e^x}\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^{n - 1}}}}{{\left( {n - 1} \right)!}}dx} \\&=&  - \frac{{{t^n}}}{{n!}} + {I_{n - 1}}\\\Rightarrow {I_n} &=&  - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{t^k}}}{{k!}}}  + {I_0}\\&=& {e^t} - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{t^k}}}{{k!}}} \end{array}\]

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#43
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Bài 22
Ta xét bài toán tổng quát sau
$$I = \int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{x^{2n}} + 1}}} $$
Phương trình ${z^{2n}} + 1 = 0$ có các nghiệm là $z = {e^{i\left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{{2n}}}},k = \overline {0..2n - 1} $
Do đó có thể thác triển  giải tích $f(z)$
$$f\left( z \right) = \frac{1}{{{z^{2n}} + 1}}$$
của hàm đã cho vào nửa mặt phẳng có $n$ cực điểm đơn và hiển nhiên rằng
$$f\left( {z{e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right) \equiv f\left( z \right)$$
Ta chọn chu tuyến tích phân $\Gamma \left( R \right)$ gồm

a) đoạn thẳng $\left[ {0,R} \right] \subset \mathbb{R}$
b) cung tròn $\gamma \left( R \right) = \left\{ {z = {{\operatorname{Re} }^{i\varphi }};0 \leqslant \varphi  \leqslant \frac{\pi }{n}} \right\}$
c) đoạn thẳng $\delta  = \left\{ {z = r{e^{i\frac{\pi }{n}}},0 \leqslant r \leqslant R} \right\}$
Theo định lý thặng dư Cauchy ta có
$$I = \int\limits_{\Gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  = \int_0^R {f\left( x \right)d{\text{x}}}  + \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  + \int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz}  =  - \frac{{\pi i}}{n}{e^{\frac{{i\pi }}{{2n}}}} + \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  + \int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz} $$
Ta xét tích phân theo $\delta$ ta có

$$\int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz}  =  - \int_0^R {f\left( {r{e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right){e^{\frac{{i\pi }}{n}}}dr}  = {e^{\frac{{i\pi }}{n}}}\int_0^R {\frac{{dx}}{{1 + {x^{2n}}}}} $$
Ta xét tích phân theo $\gamma(R)$ ta có

$$\left| {\int\limits_{\gamma \left( R \right)} {} } \right| \leqslant \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {\frac{{Rd\varphi }}{{{R^{2n}} - 1}}}  = \frac{{\frac{\pi }{n}R}}{{{R^{2n}} - 1}} \to 0\left( {R \to \infty } \right)$$
Do đó ta có
$$\left( {1 - {e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right)I =  - \frac{{\pi i}}{n}{e^{\frac{{i\pi }}{n}}} \Rightarrow I = \frac{\pi }{{2n\sin \frac{\pi }{{2n}}}}$$

 



#44
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Một bài toán hay đây: với $n$ nguyên dương hãy chứng minh rằng

$$I = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {n\varphi  - \sin \varphi } \right)d\varphi }  = \frac{{2\pi }}{{n!}}$$
Bài này tớ cũng chưa tìm ra hướng đi



#45
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
Bạn dùng đẳng thức $\cos \phi=(e^{i\phi}+e^{-i\phi})/2$ xem.

#46
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đặt như thế thì vẫn thấy các điểm cực để tình res :closedeyes:



#47
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Sau đây là lời giải của anh phudinhgioihan
$\begin{gathered}
  {I_n} = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {n\varphi  - \sin \varphi } \right)d\varphi }  = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\left\{ {\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right] - \sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]} \right\}d\varphi }   \\
   = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  + \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }   \\
\end{gathered} $
Xét tích phân sau ta có
$\begin{gathered}
  I = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  = \int_0^{2\pi } {\sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\left( { - {e^{\cos \varphi }}} \right)}   \\
   = \left. { - {e^{\cos \varphi }}\sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]} \right|_0^{2\pi } + \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]\left( {n + 1 - \cos \varphi } \right)d} \varphi   \\
   = \left( {n + 1} \right)\int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  - \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }   \\
\end{gathered} $
Do đó ta có được hệ thức truy hồi
$${I_n} = \left( {n + 1} \right){I_{n + 1}} \Rightarrow {I_n} = \frac{{{I_0}}}{{n!}} = \frac{{\int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {\sin \varphi } \right)d\varphi } }}{{n!}} = \frac{{2\pi }}{{n!}}$$
Tuy nhiên vẫn chưa hiểu lắm tại sao lại có đc
$${I_0} = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {\sin \varphi } \right)d\varphi }  = 2\pi $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 22-04-2013 - 11:57


#48
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Bài 23: Tính tích phân:

$\int_{0}^{1}\frac{1+nx^2}{(1+x^2)^{n}}dx$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi funcalys: 30-04-2013 - 19:39


#49
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Bài 23 có thể giải 1 cách khá cơ bản như sau
Ta có
$${I_n} = \int_0^1 {\frac{{n{{x}^2} + 1}}
{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^n}}}d{x}}  = n\int_0^1 {\frac{{d{x}}}
{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{n - 1}}}}}  + \left( {1 - n} \right)\int_0^1 {\frac{{d{x}}}
{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^n}}}}  = n{J_{n - 1}} + \left( {1 - n} \right){J_n}$$
Tới đây dùng công thức truy hồi là ra luôn



#50
Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.

1, $\int_{AB} (x-y)ds$; AB là đoạn thẳng nối hai điểm $A(0,0) B(4,3)$
2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol y=2x - x^2 nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sint); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$

 

4, $I=\int_{L} xyz ds;$ L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

 

 
5, $I=\int_{L} (x^2 - y^2)dx$; là đường cung của parapol $y=x^2$ với x trong khoảng x=0 đến $x=2$
mọi người giúp em nhá. Em sắp thi cuối kì. Mà phần này em không hiểu rõ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-07-2013 - 17:24


#51
maihuongchuyentoanbo

maihuongchuyentoanbo

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

tính tích phân:

$\int_{1}^{3}\frac{1}{x\sqrt{4x^{2}-5x+1}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-07-2013 - 17:24


#52
duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết

bài 16: Ta có $I_n=\int_0^t\frac{(t-x)^n}{n!}e^x{\rm d}x=\frac{(t-x)^n}{n!}e^x\Bigg|_0^t+\int_0^t\frac{(t-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x{\rm d}x=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}$

Theo công thức truy hồi ta được $I_n=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}=\frac{t^n}{n!}+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\frac{t}{1}+I_0$

Mà $I_0=\int_0^te^x{\rm d}x=e^t-1$

Vậy $I_{16}=I_n=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}=\frac{t^n}{n!}+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\frac{t}{1}+e^t-1$.



#53
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

Bài 6: Tính tích phân: $${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}}} $$
đặt $tan\frac{x}2{} = u$, ta có $sin x = \frac{2u}{1 + u^{2}}$

và $cos x = \frac{1-u^{2}}{1 + u^{2}}$; $dx = \frac{2}{1+u^{2}}$

sau khi biến đổi, ta có $\int \frac{2}{u^{2} + 6u +9} du$

bằng $-\frac{2}{u +3} + C$

= $-\frac{2}{tan \frac{x}{2}+ 3} + C$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 12-09-2013 - 01:49


#54
chanhhoang1328

chanhhoang1328

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Ta có:
${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}} = \int {\frac{{dx}}{{5\sin \left( {x + \alpha } \right)}}} } $
Với:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha = \frac{4}{5}\\
\cos \alpha = \frac{3}{5}
\end{array} \right.$
${I_6} = \frac{1}{5}\int {\frac{{\sin \left( {x + \alpha } \right)dx}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \alpha } \right)}} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {\cos \left( {x + \alpha } \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \alpha } \right) - 1}} = \frac{1}{{10}}\ln \left| {\frac{{\cos \left( {x + \alpha } \right) - 1}}{{\cos \left( {x + \alpha } \right) + 1}}} \right| + C} } $

5+sin(x+a) chứ , mình ko hiểu



#55
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

có 1 bài toán cũng khá được, mình là dân mới, mong các bạn và anh chị chỉ giáo. xin cám ơn
$I= \int_{0}^{3}arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx$
$I'=\int_{1/2}^{2}(1+x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx$

 

Cách khác:

 

Bài 2 thì thấy giải chuẩn rồi, còn bài 1 thì tôi có cách khác như sau:

 

Ta có nhận xét sau:

 

$$arc\sin\sqrt{\frac{x}{1+x}}=arc\tan\sqrt{x}$$

 

Nên:

$$I= \int arc\sin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx=\int arc\tan\sqrt{x}\: dx=\int arc\tan t\: d\left ( t^2 \right )$$

$$=t^2arc\tan t-\int \frac{t^2}{1+t^2}dt=\left ( t^2+1 \right )arc\tan t-t+C=\left ( x+1 \right )arc\tan\sqrt{x}-\sqrt{x}+C$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#56
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Bài toán mở đầu (dễ):

Bài 1: Tính tích phân bất định sau: $$I = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} } dx$$

 

P.s: Giải quyết bài 1 tồn đọng:

 

Đặt $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\Rightarrow x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\Rightarrow dx=\frac{4t}{\left ( 1-t^2 \right )^2}\: dt$

 

 

$\Rightarrow I_1=\int \left [ \frac{\left ( 1-t^2 \right )^2}{\left ( 1+t^2 \right )^2}\: t\: \frac{4t}{\left ( 1-t^2 \right )^2} \right ]dt=\int \frac{4t^2}{\left ( 1+t^2 \right )^2}dt$

 

$=-\int 2td\left ( \frac{1}{1+t^2} \right )=-\frac{2t}{1+t^2}+\int \frac{2}{1+t^2}dt=\frac{-2t}{1+t^2}+2\arctan t+C$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#57
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Bài 10: ${I_{10}} = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{\ln x}}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} $
 

 

Hình như bài 10 còn tồn đọng:

 

Giải:

 

 

 

 

$$I_{10}=\int_{0}^{1}\left ( \frac{\ln x}{1+x} \right )^2dx=\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\ln^2xd\left (- \frac{1}{1+x} \right )dx$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x(1+x)}dx \right ]$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x}dx-2\int_a^1 \frac{\ln x}{1+x} dx \right ]$$

 

$$=\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\frac{a\ln^2a}{1+a}}_{0}-2\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\frac{\ln x}{1+x}dx$$

 

$$=-2\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\ln a\ln(1+a)}_{0}+2\lim_{a\to 0^+}\underbrace{\int_{a}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx}_{I}$$

 

 

Đến đây thì vô hướng, chả biết làm nữa...làm liều-nghĩ theo hướng này: (!)

 

 

Ta dùng khai triên $Maclaurin:$

 

$\ln(1+x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{i+1}x^i}{i}$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}x^{i-1}}{i} \: dx=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}$

 

Đang nghĩ! ~O)


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#58
HauBKHN

HauBKHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}= \int_{-1}^{0}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}+\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Viết công thức toàn lỗi chắc dài quá, đành gửi ảnh 

Em làm vậy không biết đúng không ?

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn.gif
  • CodeCogsEqn (1).gif

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HauBKHN: 28-12-2013 - 09:51


#59
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Hình như bài 10 còn tồn đọng:

 

Giải:

 

 

 

 

$$I_{10}=\int_{0}^{1}\left ( \frac{\ln x}{1+x} \right )^2dx=\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\ln^2xd\left (- \frac{1}{1+x} \right )dx$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x(1+x)}dx \right ]$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x}dx-2\int_a^1 \frac{\ln x}{1+x} dx \right ]$$

 

$$=\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\frac{a\ln^2a}{1+a}}_{0}-2\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\frac{\ln x}{1+x}dx$$

 

$$=-2\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\ln a\ln(1+a)}_{0}+2\lim_{a\to 0^+}\underbrace{\int_{a}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx}_{I}$$

 

 

Đến đây thì vô hướng, chả biết làm nữa...làm liều-nghĩ theo hướng này: (!)

 

 

Ta dùng khai triên $Maclaurin:$

 

$\ln(1+x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{i+1}x^i}{i}$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}x^{i-1}}{i} \: dx=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}$

 

Đang nghĩ! ~O)

 

Giờ mới được học làm Gamma và khai triên chuỗi Fourier:

Cách 1: Áp dụng hàm Gamma

 

Cách 2: Áp dụng khai triển Fourier

Xét hàm $f(x)=x^2, \: x\in (-\pi, \pi)$ với chu kì $T=2\pi$, ta có khai triển Fourier cho hàm tuần hoàn là

 

Đây là hàm chẵn nên $b_n=0$

$a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)dx=\frac{2\pi^2}{3}$

 

$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nxdx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$

 

Nên $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right )=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n\cos nx}{n^2}=x$

 

Cho $x=0$ thì $\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}=0\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} =-\frac{\pi^2}{12}$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#60
Danglien

Danglien

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

$\int_{0}^{\prod }$ $\frac{dx}{1+tanx^{a}}$ =? mng giúp t với !!! nhầm phải là pi/2 mới đúng vs cả (tanx)^a ; mng giup t vs !!! cho a thuộc R 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Danglien: 02-03-2017 - 02:31





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh