Nhân kỷ niệm sự kiện Diễn đàn toán học - VMF tròn 8 năm hoạt động. Đề thi thử số 3 lần này là một đề đặc biệt, nhìn chung là khó hơn Đề thi bình thường.
Ban Giám khảo sẽ trao một phần thưởng đặc biệt dành cho 3 thí sinh có điểm số cao nhất trong lần thi này.
(Chi tiết các bạn có thể xem tại đây)
VMF - ĐỀ THI THỬ SỐ 3 - MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG: (Dành cho tất cả các thí sinh) (7 điểm) :
Câu I (2 điểm) : Cho hàm số $y = x^4 + 2(2m + 1)x^2 – 3m$ có đồ thị là $(\,C\,)$.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên với $m = \dfrac{3}{2}$.
2. Tìm $m$ để $(\,C\,)$ cắt trục hoành tại $4$ điểm tạo thành $3$ đoạn thẳng bằng nhau.
Câu II (2 điểm) :1. Giải phương trình: $\cos^2 2x+2\cos 2x-\sin x + 4 = 2\sqrt{2-\sin x}$
2. Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5}=(x^2+2x-6)(x^3+4) \\ x+\dfrac{2}{x} \ge 1+\dfrac{2}{x^2} \\ \end{array} \right.$
Câu III (1 điểm) : Tính tích phân :
$$I=\int\limits_{-2}^{-1} \dfrac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}$$
Câu IV (1 điểm) : Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa hai mặt bên bằng $\alpha$. Tính thể tích khối chóp.
Câu V (1 điểm) : Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn điều kiện: $abc=1$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}}{a+b+c}$$
PHẦN RIÊNG: (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: A hoặc B) (3 điểm) :
A. Chương trình chuẩn :
Câu VI.a (2 điểm) :
1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ và $\left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4$. Tìm điểm $A$ trên $\left( {{C_1}} \right)$, điểm $B$ trên $\left( {{C_2}} \right)$ và điểm $C$ trên trục $Ox$ sao cho tổng $AC+CB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ có các phương trình tương ứng là $\left( {{P_1}} \right):2x - y + 2z - 1 = 0;\,\,\left( {{P_2}} \right):2x - y + 2z + 5 = 0$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi $S$ là mặt cầu bất kì qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $S$. Chứng tỏ rằng $I$ thuộc một đường tròn cố định. Xác định toạ độ của tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1 điểm) : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có $5$ chữ số, trong số đó có mặt đúng hai chữ số $0$.
B. Chương trình nâng cao :
Câu VI.b (2 điểm) :
1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho điểm $M(-1,0)$ và đường tròn $(C ):\;x^2+(y+1)^2=1$. Viết phương trình đường thẳng $(d) $ qua $M$ cắt đường tròn $(C )$ tại hai điểm $A,B$ sao cho diện tích $\triangle OAB$ đạt giá trị lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $ d: \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+1}{-1} $, điểm $M(1;-3;0)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+2=0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ nằm trong $(P)$ sao cho $d'$ vuông góc với $d$ và $M$ cách $d'$ một khoảng bằng $\sqrt{42}$.
Câu VII.b (1 điểm) : Một người đàn ông có $5$ cái áo trắng, $7$ cái áo đen, $6$ cái quần trắng, $5$ cái quần đen, $8$ cái cà vạt trắng, $7$ cái cà vạt đen và $4$ cái cà vạt vàng. Ông ta chọn ngẫu nhiên mỗi thứ ra $2$ cái ($2$ cái áo, $2$ cái quần và $2$ cái cà vạt). Tính xác suất để $6$ thứ chọn ra đó tìm được ít nhất một bộ (áo, quần, cà vạt) cùng màu.
Đề được biên soạn bởi:
xusinst, ongtroi, E.Galois, T*genie*, hxthanh, PSW.VMF_thithu3.pdf 119.36K 2103 Số lần tải