Đến nội dung


Hình ảnh

Topic các bất đẳng thức lớp 8 hay dùng và các bài toán BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 43 trả lời

#41 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 19-01-2012 - 17:30

Đưa lên bài này cho mọi người tham khảo!
Bài 4: Cho $a,b,c>0;a+b+c=3$. CMR:
$\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}\leq \frac{3}{8}$

Mình xin chém bài này
ta có $\dfrac{a}{3a^2 + 5} \le \dfrac{a + 3}{32} (1) $ nên $A \le \dfrac{a + b + c + 9}{32} = \dfrac{3}{8}$ $$((1) \Leftrightarrow (a + 5)(a - 1)^2 \ge 0)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 19-01-2012 - 19:03

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#42 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 23-01-2012 - 09:40

Tổng quát nhỏ cho bài toán này: Cho $a,b,c>0$ và $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh:
$$\frac{{{a^n}}}{{b + c}} + \frac{{{b^n}}}{{c + a}} + \frac{{{c^n}}}{{a + b}} \geqslant \frac{{{a^{n - 1}} + {b^{n - 1}} + {c^{n - 1}}}}{2}$$
Khi $n=1$ thì ta được BĐT Nesbit 3 biến.
-------------------------------------------
P/s: Không biết có tổng quát được cho $m$ biến không :D


Bài này em dùng Chê-bư-sép là ra.

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$

$$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1} +c^{n-1})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1} +c^{n-1})\frac{1}{3}(a+b+c)\frac{9}{2(a+b+c)}=VP$$

Tổng quát : BĐT trên vẫn đúng cho m số $a_i$ (ở dưới mẫu có dạng $S-a_i$ trong đó $S=\sum_{i=1}^{20}a_i$

Chứng minh vẫn chỉ dùng Chê-bư-sép, đây là ý kiến chủ quan của em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 23-01-2012 - 09:40


#43 anhbz1610

anhbz1610

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Đã gửi 21-02-2013 - 17:44

1.BĐT Cosi cho hai số không âm: x+y2xy. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y. Cm: x+y=(x)2+(y)2(x)2+(y)22xy0(x)2+(y)22xy.Hay:
x+y2xydpcm
2 Với mọi x, y ta luôn có xy(x+y)24 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y. Cm:x2+y22xy(x+y)24xy(x+y)24xy
3. xyx2+y22. Cái ni như CM như cái 2 đã chứng minh trên
4.BĐT bunhiacốpxki cho 2 bộ số (x+y)22(x2+y2).

#44 sunsetinparis

sunsetinparis

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 04-10-2015 - 20:42

Xin bổ sung BĐT cộng mẫu (Schwarz) với bộ 2,3 số:
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
Dấu bằng xảy ra khi:$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
*BĐT Cô-si cho 3 số không âm:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$(Với trình độ lớp 8 thì BĐT chỉ để tận dụng điều kiện $xyz=k$ với k cho trước)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z(=\sqrt[3]{k})$

Đặt $ x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c} \Rightarrow xyz=1$ và:
$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant^{Schwar} \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2} \geqslant^{Cauchy}\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}=VP (\square )$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

xyz32xyz32x2y+z+y2x+z+z2x+ySchwar(x+y+z)22(x+y+z)=x+y+z2Cauchy3xyz32=32=VP()





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh