Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi thử vào 10 ĐHKHTN-ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI Đợt 2 ngày 07,08/1/2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
Mình được nghỉ 3 ngày, không có việc gì làm :icon6:



TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾM THỨC LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012.ĐỢT.... :wacko:

MÔN THI: TOÁN VÒNG 2-TOÁN CHUYÊN (08/01/2012)

THỜI GIAN: 120P


Bài I (3 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1\\xy+y+2x+x^2=y^2 \end{array}\right.$

2) Với $a,b>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^{2}+b^{2}}{b^2+2ab}+\frac{b^{2}}{a^{2}+2b^{2}}$

Bài II (3 điểm )
1) Xác định 2 chữ số cuối cùng của số $9^{9^{9}}$

2) Giả sử phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có 2 nghiệm lớn hơn 1, chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}-a-2b}{b-a+1}\geq \frac{2\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}$

Bài III ( 3 điểm )
Cho đường tròn $(O)$. Đường tròn $(O')$ đi qua $(O)$ và cắt $(O)$ tại $A,B$ sao cho $O'$ nằm ngoài $(O)$. Điểm M thuộc $(O)$ sao cho đoạn $OM$ cắt $AB$ tại $N$. Giả sử $N$ là trung điểm của $OM$. Chứng minh rằng $O'M$ tiếp xúc với $(O)$.

Bài IV (1 điểm )
Xét bộ 3 số $(2,5,13)$ có tính chất : tích 2 số bất kì trừ 1 là bình phương đúng. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $d$ để bộ 4 số $(2,5,13,d)$ có tính chất nêu trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 11-01-2012 - 15:00


#2
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾM THỨC LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012.ĐỢT 2

MÔN THI: TOÁN VÒNG 1-TOÁN CHUYÊN (07/01/2012)

THỜI GIAN: 120P

Bài I (3 điểm)
1)Giải phương trình:
$(x+1)^{4}+(3x+1)^{4}=16x^{4}$

2) Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y \\x^{2}+y^{2}=10 \end{array}\right.$

Bài II (3 điểm )
1) Tìm tổng của các số nguyên gồm 2 chữ số mà mỗi số chia hết cho các chữ số của nó

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$

Bài III ( 3 điểm )
Cho 2 đường tròn đồng tâm $(O;R)$ và $(O;R')$, $R>R'$. Điểm $M$ di chuyển trên $(O;R)$. Từ $M$ kẻ 2 tiếp tuyến $MA,MB$ tới $(O;R')$ với $A,B\in (O;R')$
1) Chứng minh rằng $AB$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
2) Chứng minh trực tâm tam giác $MAB$ luôn thuộc một đường tròn cố định
3)Chứng minh trọng tâm tam giác $MAB$ luôn thuộc một đường tròn cố định

Bài IV (1 điểm )
Với $n$ là số nguyên dương cho trước, chứng minh rằng :
$
\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

#3
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết


ĐỀ KIỂM TRA KIẾM THỨC LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012.ĐỢT.... :wacko:

MÔN THI: TOÁN VÒNG 2-TOÁN CHUYÊN (08/01/2012)

THỜI GIAN: 120P
Bài II (3 điểm )
1) Xác định 2 chữ số cuối cùng của số $9^{9^{9}}$

Bạnn Ling siêng nhỉ :P
Bài này có vẻ dễ nhất :D
Ta sẽ tìm số dư của $387420489^9$ khi chia cho 100
Để đơn giản mình đặt 387420489=A
Ta có: $A\equiv 89(mod100)$
$A^5\equiv 89^5(mod100)\equiv 49(mod100)$
$A^4\equiv 41(mod100)$
$A^9\equiv 41.49\equiv 9(mod100)$
Vậy 2 số tận cùng của $9^{9.9}$ là 09

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2012 - 23:41

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

2) Với $a,b>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^{2}+b^{2}}{b^2+2ab}+\frac{b^{2}}{a^{2}+2b^{2}}$

$P\geq \frac{a^2+b^2}{b^2+b^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+b^2+a^2}=1$
Dấu "=" xảy ra khi a=b

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#5
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
Bài III ( 3 điểm )
Cho 2 đường tròn đồng tâm $(O;R)$ và $(O;R')$, $R>R'$. Điểm $M$ di chuyển trên $(O;R)$. Từ $M$ kẻ 2 tiếp tuyến $MA,MB$ tới $(O;R')$ với $A,B\in (O;R')$
1) Chứng minh rằng $AB$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Thử câu hình xem sao :lol:
Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$
Theo giả thiết ta có: $MA \perp AO,MB \perp OB$
$AO=R'$
$OM=R$
Xài Pithagore: $AM=\sqrt{OM^{2}-AO^{2}}=\sqrt{R^{2}-R'^{2}}$

$\Rightarrow$ chiều dài $AM$ không đổi,$AO=R',
OM=R$ không đổi $\Rightarrow$ chiều dài đường cao $AH$ của tam giác $AMO$ không đổi $\Rightarrow$ chiều dài đoạn thẳng $OH$ không đổi ( dùng Pithagore và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính được $OH$ theo $R,R'$ )
Mà $OH \perp AB$ ,độ dài $OH$ không đổi nên $AB$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm H bán kính $OH$ :icon6:
2+3) Hoàn toàn tương tự :icon6:
...............................................................................................
@Kiên: tớ tên Linh, không phải Ling :closedeyes:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-01-2012 - 17:40


#6
phamvanha92

phamvanha92

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Bạnn Ling siêng nhỉ :P
Bài này có vẻ dễ nhất :D
Ta sẽ tìm số dư của $387420489^9$ khi chia cho 100
Để đơn giản mình đặt 387420489=A
Ta có: $A\equiv 89(mod100)$
$A^5\equiv 89^5(mod100)\equiv 49(mod100)$
$A^9\equiv 49^4\equiv 1(mod100)$
Vậy 2 số tận cùng của $9^{9.9}$ là 01

Cách này hình như lạm dụng máy tính nhiều quá!!!!

#7
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết

1) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1\\xy+y+2x+x^2=y^2 \end{array}\right.$

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1(1)\\xy+y+2x+x^2=y^2(2) \end{array}\right.$
$x^{2}+y^{2}+2x=1(1) \Leftrightarrow x^{2}+2x=1-y^{2}$
Thế $x^{2}+2x=1-y^{2}$ vào $(2)$,ta được:
$xy+y+2x+x^2=y^2 \Leftrightarrow xy+y+1-y^{2}=y^{2}$
$\Leftrightarrow x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$
Thế $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$ vào $(1)$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow (\frac{2y^{2}-y-1}{y})^{2}+y^{2}+2(\frac{2y^{2}-y-1}{y})=1$
$\Leftrightarrow \frac{4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{y^{2}}+\frac{4y^{3}-2y^{2}-2y}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{y^{2}}=0$
$ \Leftrightarrow 4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1+y^{4}+4y^{3}-2y^{2}-2y-y^{2}=0$
$ \Leftrightarrow 5y^{4}-6y^{2}+1=0$
Từ đây, ta có phương trình trùng phương, dễ dàng tính được y có 4 nghiệm :$\left \{ -1,-\sqrt{\frac{1}{5}},\sqrt{\frac{1}{5}},1 \right \}$
Mà $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$,lần lược thế y vào,ta tính được $x$
Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt:
$(x,y)=(0,1),(-2,-1),(\frac{-5-3\sqrt{5}}{5},\sqrt{\frac{1}{5}}),(\frac{-5+3\sqrt{5}}{5},\sqrt{-\frac{1}{5}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-01-2012 - 09:13


#8
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Bạnn Ling siêng nhỉ :P
Bài này có vẻ dễ nhất :D
Ta sẽ tìm số dư của $387420489^9$ khi chia cho 100
Để đơn giản mình đặt 387420489=A
Ta có: $A\equiv 89(mod100)$
$A^5\equiv 89^5(mod100)\equiv 49(mod100)$
$A^4\equiv 41(mod100)$
$A^9\equiv 41.49\equiv 9(mod100)$
Vậy 2 số tận cùng của $9^{9.9}$ là 09

Ai bảo Kiên là $9^{9^9}=387420489^9$ nào?
Nó phải là: $9^{9^9}=9^{387420489}$
_________
Ta có: $9^{10}=(10-1)^{10}\equiv 1 \pmod{100}$
Giả sử: $9^9 \equiv a(<100) \pmod{100}$ suy ra:
$9^{10}\equiv 9a \equiv 1 \pmod{100}\Rightarrow 9a=100b+1 \Rightarrow 100>a=\dfrac{100b+1}{9}=11b+\dfrac{b+1}{9}=89;\;\;(b=8)$
Vậy $9^9\equiv 89 \pmod{100}$
Do đó ta có:
$9^{9^9}\equiv 9^{89}=\left(9^{10}\right)^8.9^9 \equiv 1^8.9^9 \equiv 89 \pmod{100}$
Kết luận:
$\boxed{9^{9^9} \text{ có hai chữ số tận cùng là: }\;89}$

#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bài II (3 điểm )
2) Giả sử phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có 2 nghiệm lớn hơn 1, chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}-a-2b}{b-a+1}\geq \frac{2\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}$

Lời giải:
Pt có 2 nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4b \ge 0$
Gọi 2 nghiệm của phương trình là $x;y$ thì ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = - a \\
xy = b \\
x > 1;y > 1 \\
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\frac{{{a^2} - a - 2b}}{{b - a + 1}} \ge \frac{{2\sqrt b }}{{1 + \sqrt b }} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + x + y - 2xy}}{{xy + x + y + 1}} \ge \frac{{2\sqrt {xy} }}{{1 + \sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2} + x + y}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} \ge \frac{{2\sqrt {xy} }}{{1 + \sqrt {xy} }} \\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + x + y} \right)\left( {1 + \sqrt {xy} } \right) - 2\sqrt {xy} \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) \ge 0 \\
\Leftrightarrow {x^2}\sqrt {xy} + {x^2} + {y^2}\sqrt {xy} - 2xy\sqrt {xy} - x\sqrt {xy} - y\sqrt {xy} - 2\sqrt {xy} + x + {y^2} + y \ge 0 \\
\Leftrightarrow \sqrt {xy} {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right) \ge 0 \\
\Leftrightarrow \sqrt {xy} {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\left[ {{{\left( {\sqrt x - \frac{{\sqrt y }}{2}} \right)}^2} + \frac{{3y}}{4}} \right] \ge 0:True \\
\end{array}\]
Vậy ta có đpcm.

P/S: Bài này hình như chỉ cần điều kiện là 2 nghiệm cùng dấu là được thì phải. :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-01-2012 - 10:42

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$


$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$
$\Leftrightarrow x^{2}+4x-2-2xy-x^{2}y^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+4x+4)-(x^{2}y^{2}+2xy+1)-5=0$
$\Leftrightarrow (x+2)^{2}-(xy+1)^{2}=5$
$\Leftrightarrow (x+2+xy+1)(x+2-xy-1)=5$
$\Leftrightarrow (x+xy+3)(x-xy+1)=5$
Mà :
$5=1.5=5.1=(-1).(-5)=(-5).(-1)$
Mặc khác, $x,y$ nguyên nên có thể tìm được $x,y$ bằng cách lập các hệ phương trình theo trên ! :icon6:

#11
minhdat881439

minhdat881439

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
x$^{2}$+4x-2xy-x$^{2}$y$^{2}$-2=0
$\Leftrightarrow$(x+2)$^{2}$-(xy+1)$^{2}$=5
$\Leftrightarrow$(x+2+xy+1)(x+2-xy-1)=5*1=1*5=(-5)*(-1)=(-1)*(-5)

Ta có các hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=5 & \\ &x+2-xy-1=1 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=1 & \\ &x+2-xy-1=5 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-5 & \\ &x+2-xy-1=-1& \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-1 & \\ &x+2-xy-1=-5 & \end{matrix}\right.$

Giải các hệ phương trình trên ta dược các cặp nghiệm thỏa mãn là

(1;1), (1;-3)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 12-01-2012 - 10:50

Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng


Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF


#12
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

x$^{2}$+4x-2xy-x$^{2}$y$^{2}$-2=0
$\Leftrightarrow$(x+2)$^{2}$-(xy+1)$^{2}$=5
$\Leftrightarrow$(x+2+xy+1)(x+2-xy-1)=5*1=1*5=(-5)*(-1)=(-1)*(-5)

Ta có các hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=5 & \\ &x+2-xy-1=1 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=1 & \\ &x+2-xy-1=5 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-5 & \\ &x+2-xy-1=-1& \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-1 & \\ &x+2-xy-1=-5 & \end{matrix}\right.$

Giải các hệ phương trình trên ta dược các cặp nghiệm thỏa mãn là

(1;1), (1;-3),(-5;$\frac{-3}{5}$),(-5;$\frac{1}{5}$)

Đề yêu cầu tìm nghiệm nguyên và cách giải chỉ đúng khi là nghiệm nguyên, sao lại có 2 nghiệm hữu tỷ lọt vào đây hả bạn?
$(-5;\frac{-3}{5}),(-5;\frac{1}{5})$
Phải loại 2 nghiệm này ra chứ.
  • MIM yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#13
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

2) Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y \\x^{2}+y^{2}=10 \end{array}\right.$


$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y(1) \\x^{2}+y^{2}=10(2) \end{array}\right.$

(1) <=> $2xy-y=6x-3$

<=> $y(2x-1)=3(2x-1)$ (3)

Xét $x=\frac{1}{2}$

Thay vào (2) => $y=\pm \frac{\sqrt{39}}{2}$

Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Xét $x\neq \frac{1}{2}$

Ta đơn giản hai vế của (3) cho $2x-1$

=> $y=3$

Thay vào (2) => $x=\pm 1$


Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm thoả mãn

$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(1;3)$ ; $(-1;3)$
  • MIM yêu thích

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#14
duchanh1911

duchanh1911

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1(1)\\xy+y+2x+x^2=y^2(2) \end{array}\right.$
$x^{2}+y^{2}+2x=1(1) \Leftrightarrow x^{2}+2x=1-y^{2}$
Thế $x^{2}+2x=1-y^{2}$ vào $(2)$,ta được:
$xy+y+2x+x^2=y^2 \Leftrightarrow xy+y+1-y^{2}=y^{2}$
$\Leftrightarrow x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$
Thế $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$ vào $(1)$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow (\frac{2y^{2}-y-1}{y})^{2}+y^{2}+2(\frac{2y^{2}-y-1}{y})=1$
$\Leftrightarrow \frac{4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{y^{2}}+\frac{4y^{3}-2y^{2}-2y}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{y^{2}}=0$
$ \Leftrightarrow 4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1+y^{4}+4y^{3}-2y^{2}-2y-y^{2}=0$
$ \Leftrightarrow 5y^{4}-6y^{2}+1=0$
Từ đây, ta có phương trình trùng phương, dễ dàng tính được y có 4 nghiệm :$\left \{ -1,-\sqrt{\frac{1}{5}},\sqrt{\frac{1}{5}},1 \right \}$
Mà $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$,lần lược thế y vào,ta tính được $x$
Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt:
$(x,y)=(0,1),(-2,-1),(\frac{-5-3\sqrt{5}}{5},\sqrt{\frac{1}{5}}),(\frac{-5+3\sqrt{5}}{5},\sqrt{-\frac{1}{5}})$

Cách khác: từ pt (2) của hệ $\Leftrightarrow y^{2}-y(x+1)-(x^{2}+2x)=0$
$\Rightarrow \Delta _{y}=(x+1)^{2}+4(x^{2}+2x)=5x^{2}+10x+1=(5x+1)^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix}
y=3x+3 & \\y=-2x
&
\end{bmatrix}$
vậy ta có 2 hệ hệ quả:$\left\{\begin{matrix}
y=3x+3 & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
và:$\left\{\begin{matrix}
y=-2x & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
đến đây thì việc giải hệ (I) và (II) quá đơn giản.Hệ (I) có nghiêm (-1;0) hệ (II) vô nghiệm.
Đừng bao giờ hài lòng với thực tại.Đấu tranh không ngừng Phát triển mãi mãi.

#15
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết

Cách khác: từ pt (2) của hệ $\Leftrightarrow y^{2}-y(x+1)-(x^{2}+2x)=0$
$\Rightarrow \Delta _{y}=(x+1)^{2}+4(x^{2}+2x)=5x^{2}+10x+1=(5x+1)^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix}
y=3x+3 & \\y=-2x
&
\end{bmatrix}$
vậy ta có 2 hệ hệ quả:$\left\{\begin{matrix}
y=3x+3 & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
và:$\left\{\begin{matrix}
y=-2x & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
đến đây thì việc giải hệ (I) và (II) quá đơn giản.Hệ (I) có nghiêm (-1;0) hệ (II) vô nghiệm.


$\Delta _{y}=(x+1)^{2}+4(x^{2}+2x)=5x^{2}+10x+1=(5x+1)^{2}$ :icon6:$\Delta$ tính sai rồi bạn ơi ! :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-01-2012 - 19:21


#16
duchanh1911

duchanh1911

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y(1) \\x^{2}+y^{2}=10(2) \end{array}\right.$

(1) <=> $2xy-y=6x-3$

<=> $y(2x-1)=3(2x-1)$ (3)

Xét $x=\frac{1}{2}$

Thay vào (2) => $y=\pm \frac{\sqrt{39}}{2}$

Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Xét $x\neq \frac{1}{2}$

Ta đơn giản hai vế của (3) cho $2x-1$

=> $y=3$

Thay vào (2) => $x=\pm 1$


Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm thoả mãn

$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(1;3)$ ; $(-1;3)$

cách khác:
từ (1) $\Leftrightarrow y(2x-1)=6x-3\Leftrightarrow (2x-1)(y-3)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{2} & \\ x^{2}+y^{2}=10
&
\end{matrix}\right.$
và:$\left\{\begin{matrix}
y=3 & \\ x^{2}+y^{2}=10
&
\end{matrix}\right.$
đến đây thì quá giản đơn rồi :icon6:
Đừng bao giờ hài lòng với thực tại.Đấu tranh không ngừng Phát triển mãi mãi.

#17
duchanh1911

duchanh1911

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$


$\Leftrightarrow (x+2)^{2}-4=(xy+1)^{2}+1$
$\Leftrightarrow (x+xy+3)(x-xy+1)=5$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+xy+3=(1;-1);(-1;1);(5;-5)(-5,5) & \\ x-xy+1=(5;-5)(-5,5);(1;-1)(-1;1)
&
\end{matrix}\right.$
từ đây suy ra x,y nguyên.
Đừng bao giờ hài lòng với thực tại.Đấu tranh không ngừng Phát triển mãi mãi.

#18
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài II (3 điểm )
1) Tìm tổng của các số nguyên gồm 2 chữ số mà mỗi số chia hết cho các chữ số của nó

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$


1) Phương trình tương đương với
$$ x^2(1-y^2)+2x(2-y)-2$$
Ta tính được $\Delta' = 6-4y-y^2.$ Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta' = k^2$
Từ đây, ta suy ra được $10=k^2+(y+2)^2$. Ta thấy rằng $10$ chỉ có 1 cách phân tích ra tổng của 2 số chính phương, đó là $10=9+1$ nên $(y+2)^2=9$ hoặc $(y+2)^2=1$
Đến đây làm tiếp các bác.

Bài IV (1 điểm )
Với $n$ là số nguyên dương cho trước, chứng minh rằng :
$
\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Bài này quy nạp chắc ra nhỉ.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#19
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Với mọi $k>0$, ta có:

$ 1<\dfrac{2\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}}<\dfrac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k(k+1)}}=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

Vậy ta có: $\boxed{\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}}<2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)}$

Tới đây thì dễ rồi ...

#20
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
Bài 1:
Đặt 2x+1=y. Ta có:
$(y-x)^{4}$+$(y+x)^{4}$=$16x^{2}$
Giải tiếp rồi thay y=2x+1 rồi giải ta đươc 2 nghiệm là x=-1 và x=$\frac{-1}{3}$

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh