Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi thử vào 10 ĐHKHTN-ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI Đợt 2 ngày 07,08/1/2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 11-01-2012 - 14:38

Mình được nghỉ 3 ngày, không có việc gì làm :icon6:



TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾM THỨC LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012.ĐỢT.... :wacko:

MÔN THI: TOÁN VÒNG 2-TOÁN CHUYÊN (08/01/2012)

THỜI GIAN: 120P


Bài I (3 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1\\xy+y+2x+x^2=y^2 \end{array}\right.$

2) Với $a,b>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^{2}+b^{2}}{b^2+2ab}+\frac{b^{2}}{a^{2}+2b^{2}}$

Bài II (3 điểm )
1) Xác định 2 chữ số cuối cùng của số $9^{9^{9}}$

2) Giả sử phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có 2 nghiệm lớn hơn 1, chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}-a-2b}{b-a+1}\geq \frac{2\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}$

Bài III ( 3 điểm )
Cho đường tròn $(O)$. Đường tròn $(O')$ đi qua $(O)$ và cắt $(O)$ tại $A,B$ sao cho $O'$ nằm ngoài $(O)$. Điểm M thuộc $(O)$ sao cho đoạn $OM$ cắt $AB$ tại $N$. Giả sử $N$ là trung điểm của $OM$. Chứng minh rằng $O'M$ tiếp xúc với $(O)$.

Bài IV (1 điểm )
Xét bộ 3 số $(2,5,13)$ có tính chất : tích 2 số bất kì trừ 1 là bình phương đúng. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $d$ để bộ 4 số $(2,5,13,d)$ có tính chất nêu trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 11-01-2012 - 15:00


#2 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 11-01-2012 - 14:57

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾM THỨC LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012.ĐỢT 2

MÔN THI: TOÁN VÒNG 1-TOÁN CHUYÊN (07/01/2012)

THỜI GIAN: 120P

Bài I (3 điểm)
1)Giải phương trình:
$(x+1)^{4}+(3x+1)^{4}=16x^{4}$

2) Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y \\x^{2}+y^{2}=10 \end{array}\right.$

Bài II (3 điểm )
1) Tìm tổng của các số nguyên gồm 2 chữ số mà mỗi số chia hết cho các chữ số của nó

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$

Bài III ( 3 điểm )
Cho 2 đường tròn đồng tâm $(O;R)$ và $(O;R')$, $R>R'$. Điểm $M$ di chuyển trên $(O;R)$. Từ $M$ kẻ 2 tiếp tuyến $MA,MB$ tới $(O;R')$ với $A,B\in (O;R')$
1) Chứng minh rằng $AB$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
2) Chứng minh trực tâm tam giác $MAB$ luôn thuộc một đường tròn cố định
3)Chứng minh trọng tâm tam giác $MAB$ luôn thuộc một đường tròn cố định

Bài IV (1 điểm )
Với $n$ là số nguyên dương cho trước, chứng minh rằng :
$
\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 11-01-2012 - 16:11


ĐỀ KIỂM TRA KIẾM THỨC LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012.ĐỢT.... :wacko:

MÔN THI: TOÁN VÒNG 2-TOÁN CHUYÊN (08/01/2012)

THỜI GIAN: 120P
Bài II (3 điểm )
1) Xác định 2 chữ số cuối cùng của số $9^{9^{9}}$

Bạnn Ling siêng nhỉ :P
Bài này có vẻ dễ nhất :D
Ta sẽ tìm số dư của $387420489^9$ khi chia cho 100
Để đơn giản mình đặt 387420489=A
Ta có: $A\equiv 89(mod100)$
$A^5\equiv 89^5(mod100)\equiv 49(mod100)$
$A^4\equiv 41(mod100)$
$A^9\equiv 41.49\equiv 9(mod100)$
Vậy 2 số tận cùng của $9^{9.9}$ là 09

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2012 - 23:41

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 11-01-2012 - 21:21

2) Với $a,b>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^{2}+b^{2}}{b^2+2ab}+\frac{b^{2}}{a^{2}+2b^{2}}$

$P\geq \frac{a^2+b^2}{b^2+b^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+b^2+a^2}=1$
Dấu "=" xảy ra khi a=b

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#5 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 11-01-2012 - 21:51

Bài III ( 3 điểm )
Cho 2 đường tròn đồng tâm $(O;R)$ và $(O;R')$, $R>R'$. Điểm $M$ di chuyển trên $(O;R)$. Từ $M$ kẻ 2 tiếp tuyến $MA,MB$ tới $(O;R')$ với $A,B\in (O;R')$
1) Chứng minh rằng $AB$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Thử câu hình xem sao :lol:
Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$
Theo giả thiết ta có: $MA \perp AO,MB \perp OB$
$AO=R'$
$OM=R$
Xài Pithagore: $AM=\sqrt{OM^{2}-AO^{2}}=\sqrt{R^{2}-R'^{2}}$

$\Rightarrow$ chiều dài $AM$ không đổi,$AO=R',
OM=R$ không đổi $\Rightarrow$ chiều dài đường cao $AH$ của tam giác $AMO$ không đổi $\Rightarrow$ chiều dài đoạn thẳng $OH$ không đổi ( dùng Pithagore và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính được $OH$ theo $R,R'$ )
Mà $OH \perp AB$ ,độ dài $OH$ không đổi nên $AB$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm H bán kính $OH$ :icon6:
2+3) Hoàn toàn tương tự :icon6:
...............................................................................................
@Kiên: tớ tên Linh, không phải Ling :closedeyes:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-01-2012 - 17:40


#6 phamvanha92

phamvanha92

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-01-2012 - 23:08

Bạnn Ling siêng nhỉ :P
Bài này có vẻ dễ nhất :D
Ta sẽ tìm số dư của $387420489^9$ khi chia cho 100
Để đơn giản mình đặt 387420489=A
Ta có: $A\equiv 89(mod100)$
$A^5\equiv 89^5(mod100)\equiv 49(mod100)$
$A^9\equiv 49^4\equiv 1(mod100)$
Vậy 2 số tận cùng của $9^{9.9}$ là 01

Cách này hình như lạm dụng máy tính nhiều quá!!!!

#7 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 12-01-2012 - 08:13

1) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1\\xy+y+2x+x^2=y^2 \end{array}\right.$

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1(1)\\xy+y+2x+x^2=y^2(2) \end{array}\right.$
$x^{2}+y^{2}+2x=1(1) \Leftrightarrow x^{2}+2x=1-y^{2}$
Thế $x^{2}+2x=1-y^{2}$ vào $(2)$,ta được:
$xy+y+2x+x^2=y^2 \Leftrightarrow xy+y+1-y^{2}=y^{2}$
$\Leftrightarrow x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$
Thế $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$ vào $(1)$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow (\frac{2y^{2}-y-1}{y})^{2}+y^{2}+2(\frac{2y^{2}-y-1}{y})=1$
$\Leftrightarrow \frac{4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{y^{2}}+\frac{4y^{3}-2y^{2}-2y}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{y^{2}}=0$
$ \Leftrightarrow 4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1+y^{4}+4y^{3}-2y^{2}-2y-y^{2}=0$
$ \Leftrightarrow 5y^{4}-6y^{2}+1=0$
Từ đây, ta có phương trình trùng phương, dễ dàng tính được y có 4 nghiệm :$\left \{ -1,-\sqrt{\frac{1}{5}},\sqrt{\frac{1}{5}},1 \right \}$
Mà $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$,lần lược thế y vào,ta tính được $x$
Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt:
$(x,y)=(0,1),(-2,-1),(\frac{-5-3\sqrt{5}}{5},\sqrt{\frac{1}{5}}),(\frac{-5+3\sqrt{5}}{5},\sqrt{-\frac{1}{5}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-01-2012 - 09:13


#8 hxthanh

hxthanh

  • Quản trị
  • 3437 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-01-2012 - 08:51

Bạnn Ling siêng nhỉ :P
Bài này có vẻ dễ nhất :D
Ta sẽ tìm số dư của $387420489^9$ khi chia cho 100
Để đơn giản mình đặt 387420489=A
Ta có: $A\equiv 89(mod100)$
$A^5\equiv 89^5(mod100)\equiv 49(mod100)$
$A^4\equiv 41(mod100)$
$A^9\equiv 41.49\equiv 9(mod100)$
Vậy 2 số tận cùng của $9^{9.9}$ là 09

Ai bảo Kiên là $9^{9^9}=387420489^9$ nào?
Nó phải là: $9^{9^9}=9^{387420489}$
_________
Ta có: $9^{10}=(10-1)^{10}\equiv 1 \pmod{100}$
Giả sử: $9^9 \equiv a(<100) \pmod{100}$ suy ra:
$9^{10}\equiv 9a \equiv 1 \pmod{100}\Rightarrow 9a=100b+1 \Rightarrow 100>a=\dfrac{100b+1}{9}=11b+\dfrac{b+1}{9}=89;\;\;(b=8)$
Vậy $9^9\equiv 89 \pmod{100}$
Do đó ta có:
$9^{9^9}\equiv 9^{89}=\left(9^{10}\right)^8.9^9 \equiv 1^8.9^9 \equiv 89 \pmod{100}$
Kết luận:
$\boxed{9^{9^9} \text{ có hai chữ số tận cùng là: }\;89}$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#9 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4583 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 12-01-2012 - 09:41

Bài II (3 điểm )
2) Giả sử phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có 2 nghiệm lớn hơn 1, chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}-a-2b}{b-a+1}\geq \frac{2\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}$

Lời giải:
Pt có 2 nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4b \ge 0$
Gọi 2 nghiệm của phương trình là $x;y$ thì ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = - a \\
xy = b \\
x > 1;y > 1 \\
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\frac{{{a^2} - a - 2b}}{{b - a + 1}} \ge \frac{{2\sqrt b }}{{1 + \sqrt b }} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + x + y - 2xy}}{{xy + x + y + 1}} \ge \frac{{2\sqrt {xy} }}{{1 + \sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2} + x + y}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} \ge \frac{{2\sqrt {xy} }}{{1 + \sqrt {xy} }} \\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + x + y} \right)\left( {1 + \sqrt {xy} } \right) - 2\sqrt {xy} \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) \ge 0 \\
\Leftrightarrow {x^2}\sqrt {xy} + {x^2} + {y^2}\sqrt {xy} - 2xy\sqrt {xy} - x\sqrt {xy} - y\sqrt {xy} - 2\sqrt {xy} + x + {y^2} + y \ge 0 \\
\Leftrightarrow \sqrt {xy} {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right) \ge 0 \\
\Leftrightarrow \sqrt {xy} {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} + {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\left[ {{{\left( {\sqrt x - \frac{{\sqrt y }}{2}} \right)}^2} + \frac{{3y}}{4}} \right] \ge 0:True \\
\end{array}\]
Vậy ta có đpcm.

P/S: Bài này hình như chỉ cần điều kiện là 2 nghiệm cùng dấu là được thì phải. :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-01-2012 - 10:42

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#10 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 12-01-2012 - 10:18

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$


$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$
$\Leftrightarrow x^{2}+4x-2-2xy-x^{2}y^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+4x+4)-(x^{2}y^{2}+2xy+1)-5=0$
$\Leftrightarrow (x+2)^{2}-(xy+1)^{2}=5$
$\Leftrightarrow (x+2+xy+1)(x+2-xy-1)=5$
$\Leftrightarrow (x+xy+3)(x-xy+1)=5$
Mà :
$5=1.5=5.1=(-1).(-5)=(-5).(-1)$
Mặc khác, $x,y$ nguyên nên có thể tìm được $x,y$ bằng cách lập các hệ phương trình theo trên ! :icon6:

#11 minhdat881439

minhdat881439

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-01-2012 - 10:42

x$^{2}$+4x-2xy-x$^{2}$y$^{2}$-2=0
$\Leftrightarrow$(x+2)$^{2}$-(xy+1)$^{2}$=5
$\Leftrightarrow$(x+2+xy+1)(x+2-xy-1)=5*1=1*5=(-5)*(-1)=(-1)*(-5)

Ta có các hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=5 & \\ &x+2-xy-1=1 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=1 & \\ &x+2-xy-1=5 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-5 & \\ &x+2-xy-1=-1& \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-1 & \\ &x+2-xy-1=-5 & \end{matrix}\right.$

Giải các hệ phương trình trên ta dược các cặp nghiệm thỏa mãn là

(1;1), (1;-3)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 12-01-2012 - 10:50

Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng


Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF


#12 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4583 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 12-01-2012 - 10:47

x$^{2}$+4x-2xy-x$^{2}$y$^{2}$-2=0
$\Leftrightarrow$(x+2)$^{2}$-(xy+1)$^{2}$=5
$\Leftrightarrow$(x+2+xy+1)(x+2-xy-1)=5*1=1*5=(-5)*(-1)=(-1)*(-5)

Ta có các hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=5 & \\ &x+2-xy-1=1 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=1 & \\ &x+2-xy-1=5 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-5 & \\ &x+2-xy-1=-1& \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} &x+2+xy+1=-1 & \\ &x+2-xy-1=-5 & \end{matrix}\right.$

Giải các hệ phương trình trên ta dược các cặp nghiệm thỏa mãn là

(1;1), (1;-3),(-5;$\frac{-3}{5}$),(-5;$\frac{1}{5}$)

Đề yêu cầu tìm nghiệm nguyên và cách giải chỉ đúng khi là nghiệm nguyên, sao lại có 2 nghiệm hữu tỷ lọt vào đây hả bạn?
$(-5;\frac{-3}{5}),(-5;\frac{1}{5})$
Phải loại 2 nghiệm này ra chứ.
  • MIM yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#13 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 12-01-2012 - 18:24

2) Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y \\x^{2}+y^{2}=10 \end{array}\right.$


$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y(1) \\x^{2}+y^{2}=10(2) \end{array}\right.$

(1) <=> $2xy-y=6x-3$

<=> $y(2x-1)=3(2x-1)$ (3)

Xét $x=\frac{1}{2}$

Thay vào (2) => $y=\pm \frac{\sqrt{39}}{2}$

Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Xét $x\neq \frac{1}{2}$

Ta đơn giản hai vế của (3) cho $2x-1$

=> $y=3$

Thay vào (2) => $x=\pm 1$


Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm thoả mãn

$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(1;3)$ ; $(-1;3)$
  • MIM yêu thích

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#14 duchanh1911

duchanh1911

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Thạnh-HCM City

Đã gửi 12-01-2012 - 19:09

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2x=1(1)\\xy+y+2x+x^2=y^2(2) \end{array}\right.$
$x^{2}+y^{2}+2x=1(1) \Leftrightarrow x^{2}+2x=1-y^{2}$
Thế $x^{2}+2x=1-y^{2}$ vào $(2)$,ta được:
$xy+y+2x+x^2=y^2 \Leftrightarrow xy+y+1-y^{2}=y^{2}$
$\Leftrightarrow x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$
Thế $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$ vào $(1)$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow (\frac{2y^{2}-y-1}{y})^{2}+y^{2}+2(\frac{2y^{2}-y-1}{y})=1$
$\Leftrightarrow \frac{4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{y^{2}}+\frac{4y^{3}-2y^{2}-2y}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{y^{2}}=0$
$ \Leftrightarrow 4y^{4}-4y^{3}-3y^{2}+2y+1+y^{4}+4y^{3}-2y^{2}-2y-y^{2}=0$
$ \Leftrightarrow 5y^{4}-6y^{2}+1=0$
Từ đây, ta có phương trình trùng phương, dễ dàng tính được y có 4 nghiệm :$\left \{ -1,-\sqrt{\frac{1}{5}},\sqrt{\frac{1}{5}},1 \right \}$
Mà $x=\frac{2y^{2}-y-1}{y}$,lần lược thế y vào,ta tính được $x$
Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt:
$(x,y)=(0,1),(-2,-1),(\frac{-5-3\sqrt{5}}{5},\sqrt{\frac{1}{5}}),(\frac{-5+3\sqrt{5}}{5},\sqrt{-\frac{1}{5}})$

Cách khác: từ pt (2) của hệ $\Leftrightarrow y^{2}-y(x+1)-(x^{2}+2x)=0$
$\Rightarrow \Delta _{y}=(x+1)^{2}+4(x^{2}+2x)=5x^{2}+10x+1=(5x+1)^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix}
y=3x+3 & \\y=-2x
&
\end{bmatrix}$
vậy ta có 2 hệ hệ quả:$\left\{\begin{matrix}
y=3x+3 & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
và:$\left\{\begin{matrix}
y=-2x & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
đến đây thì việc giải hệ (I) và (II) quá đơn giản.Hệ (I) có nghiêm (-1;0) hệ (II) vô nghiệm.
Đừng bao giờ hài lòng với thực tại.Đấu tranh không ngừng Phát triển mãi mãi.

#15 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 12-01-2012 - 19:17

Cách khác: từ pt (2) của hệ $\Leftrightarrow y^{2}-y(x+1)-(x^{2}+2x)=0$
$\Rightarrow \Delta _{y}=(x+1)^{2}+4(x^{2}+2x)=5x^{2}+10x+1=(5x+1)^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix}
y=3x+3 & \\y=-2x
&
\end{bmatrix}$
vậy ta có 2 hệ hệ quả:$\left\{\begin{matrix}
y=3x+3 & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
và:$\left\{\begin{matrix}
y=-2x & \\ x^{2}+y^{2}+2x+1=0
&
\end{matrix}\right.$
đến đây thì việc giải hệ (I) và (II) quá đơn giản.Hệ (I) có nghiêm (-1;0) hệ (II) vô nghiệm.


$\Delta _{y}=(x+1)^{2}+4(x^{2}+2x)=5x^{2}+10x+1=(5x+1)^{2}$ :icon6:$\Delta$ tính sai rồi bạn ơi ! :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-01-2012 - 19:21


#16 duchanh1911

duchanh1911

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Thạnh-HCM City

Đã gửi 12-01-2012 - 19:18

$\left\{\begin{array}{l}2xy+3=6x+y(1) \\x^{2}+y^{2}=10(2) \end{array}\right.$

(1) <=> $2xy-y=6x-3$

<=> $y(2x-1)=3(2x-1)$ (3)

Xét $x=\frac{1}{2}$

Thay vào (2) => $y=\pm \frac{\sqrt{39}}{2}$

Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Xét $x\neq \frac{1}{2}$

Ta đơn giản hai vế của (3) cho $2x-1$

=> $y=3$

Thay vào (2) => $x=\pm 1$


Thử lại, ta thấy thoả mãn hệ đã cho

Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm thoả mãn

$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{39}}{2})$ ; $(1;3)$ ; $(-1;3)$

cách khác:
từ (1) $\Leftrightarrow y(2x-1)=6x-3\Leftrightarrow (2x-1)(y-3)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{2} & \\ x^{2}+y^{2}=10
&
\end{matrix}\right.$
và:$\left\{\begin{matrix}
y=3 & \\ x^{2}+y^{2}=10
&
\end{matrix}\right.$
đến đây thì quá giản đơn rồi :icon6:
Đừng bao giờ hài lòng với thực tại.Đấu tranh không ngừng Phát triển mãi mãi.

#17 duchanh1911

duchanh1911

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Thạnh-HCM City

Đã gửi 12-01-2012 - 19:49

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$


$\Leftrightarrow (x+2)^{2}-4=(xy+1)^{2}+1$
$\Leftrightarrow (x+xy+3)(x-xy+1)=5$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+xy+3=(1;-1);(-1;1);(5;-5)(-5,5) & \\ x-xy+1=(5;-5)(-5,5);(1;-1)(-1;1)
&
\end{matrix}\right.$
từ đây suy ra x,y nguyên.
Đừng bao giờ hài lòng với thực tại.Đấu tranh không ngừng Phát triển mãi mãi.

#18 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 13-01-2012 - 12:33

Bài II (3 điểm )
1) Tìm tổng của các số nguyên gồm 2 chữ số mà mỗi số chia hết cho các chữ số của nó

2) Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn biểu thức :
$x^{2}+4x=2+2xy+x^{2}y^{2}$


1) Phương trình tương đương với
$$ x^2(1-y^2)+2x(2-y)-2$$
Ta tính được $\Delta' = 6-4y-y^2.$ Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta' = k^2$
Từ đây, ta suy ra được $10=k^2+(y+2)^2$. Ta thấy rằng $10$ chỉ có 1 cách phân tích ra tổng của 2 số chính phương, đó là $10=9+1$ nên $(y+2)^2=9$ hoặc $(y+2)^2=1$
Đến đây làm tiếp các bác.

Bài IV (1 điểm )
Với $n$ là số nguyên dương cho trước, chứng minh rằng :
$
\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Bài này quy nạp chắc ra nhỉ.

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#19 hxthanh

hxthanh

  • Quản trị
  • 3437 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-01-2012 - 16:12

Với mọi $k>0$, ta có:

$ 1<\dfrac{2\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}}<\dfrac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k(k+1)}}=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

Vậy ta có: $\boxed{\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}}<2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)}$

Tới đây thì dễ rồi ...
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#20 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 16-01-2012 - 18:50

Bài 1:
Đặt 2x+1=y. Ta có:
$(y-x)^{4}$+$(y+x)^{4}$=$16x^{2}$
Giải tiếp rồi thay y=2x+1 rồi giải ta đươc 2 nghiệm là x=-1 và x=$\frac{-1}{3}$

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh