Đến nội dung

Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển 30/4 chuyên LHP TPHCM


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM 30/4/2012
TOÁN 10-VÒNG 1
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Giải phương trình $(x\in \mathbb{R}):
\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}$


Bài 2: Cho $f(x)=ax^2+2bx+1$ là đa thức hệ số thực thỏa $|f(1)|\le 1$ và $|f(-1)|\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $ F=a^2+b^2$


Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó(trong hệ cơ số 10) bằng $x^2-10x-22$


Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm $H$. Đường thẳng (d) bất kì qua $H$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại P,Q. Đường thẳng $(\Delta)$ qua H và vuông góc với PQ cắt $BC$ tại M. Đường thẳng qua B và song song với QP cắt $AH$ tại K. Chứng minh rằng: $MK\parallel AC$


Bài 5: Cho $m,n$ à các số nguyên dương. Tìm số n nhỏ nhất sao cho tồn tại m để hình chữ nhật $(3m+2)$ X $(4m+3)$ phủ được bằng(tất cả các hình sau):
$n $hình vuông 1 X 1
n-1 hình vuông 2 X 2
............................
1 hình vuông n x n
Với n tìm được, hãy chỉ ra một cách phủ.

Nguồn: Mathscope
=========


Đề này mình làm được 0 câu :P

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Link download file pdf (tự soạn)
http://www.mediafire...ekj8jzr2c0i1391

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-01-2012 - 23:19

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó(trong hệ cơ số 10) bằng $x^2-10x-22$

Xin chém thử câu này.

Lời giải. Giả sử tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn đề bài. Vì tích các chữ số của $x$ là một số nguyên dương không âm nên ta có:
\begin{equation} x^2-10x-22 \ge 0 \iff \left[ \begin{matrix} x \le 5- \sqrt{47} & \\ x \ge 5+ \sqrt{47}. & & \end{matrix}\right. \text{ } (1) \end{equation}
Mặt khác, do $x \ge 0$ nên từ $(1)$ ta có $x \ge 5+ \sqrt{47}=11,...$. Do $x$ nguyên dương nên suy ra $$x \ge 12. \text{ } (2)$$
Gỉa sử $x= \overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}, \ 0 \le a_1 \le 9, \ \forall i=\overline{0,n}, \ a_n \ne 0$. Khi đó
$$x=a_0+10a_1+...+10^{n-1}a_{n-1}+10^na_n \ \text{ } (3)$$
Theo giả thiết thì:
$$x^2-10x-22=a_0a_1...a_n. \ \text{ } (4)$$
Vì $0 \le a_i \le 9$ nên
$$a_0a_1...a_n \le 9^na_n. \ \text{ } (5)$$
Do $a_n \ne 0$ nên $$9^na_n<a_0+10a_1+...+10^na_n. \ \text{ } (6)$$
Từ $(3),(4),(5),(6)$ suy ra
$$\begin{align} x^2-10x-22<x & \Rightarrow x^2-11x-22<0 \\ & \Rightarrow \frac{11- \sqrt{209}}{2}<x< \frac{11+ \sqrt{209}}{2}. \end{align}$$
Kết hợp với $x<0$, ta có $0<x< \frac{11+ \sqrt{209}}{2}=12,...$. Do $x$ nguyên nên điều đó có nghĩa là $$x \le 12 \ \text{ } (7)$$
Từ $(2)$ và $(7)$ suy ra $x=12$.

$\boxed{ \text{Kết luận}}$. Đáp án của bài toán là $\textbf{x=12}$. $\blacksquare$

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 2: Cho $f(x)=ax^2+2bx+1$ là đa thức hệ số thực thỏa $|f(1)|\le 1$ và $|f(-1)|\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $ F=a^2+b^2$


Lời giải. Đặt $A=f(1)=a+2b+1, B=f(-1)=a-2b+1$. Từ giả thiết suy ra $|A| \le 1, |B| \le 1 \Rightarrow -1 \le A,B \le 1$
Ta tính được $a,b$ theo $A,B$ là: $a=\dfrac{A+B-2}{2}, b=\dfrac{A-B}{2}$
Từ đây, suy ra $$a^2+b^2=\dfrac{A^2-2A+1+B^2-2B+1}{2}$$
Do $A,B \in [-1;1]$ nên ta suy ra được $A^2-2A+1 \le 1-2.(-1)+1=4$ và $B^2-2b+1 \le 1-2.(-1)+1=4.$
Vậy $a^2+b^2=\dfrac{A^2-2A+1+B^2-2B+1}{2} \le \dfrac{4+4}{2}=4$
Vậy giá trị lớn nhất của $F=4.$ Đẳng thức xảy ra khi $a=-2,b=0. \blacksquare$

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#5
kelangthang

kelangthang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm $H$. Đường thẳng (d) bất kì qua $H$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại P,Q. Đường thẳng $(\Delta)$ qua H và vuông góc với PQ cắt $BC$ tại M. Đường thẳng qua B và song song với QP cắt $AH$ tại K. Chứng minh rằng: $MK\parallel AC$


Để mình bài 4
Xét trường hợp AP>AQ
Trường hợp kia cũng tương tự ... :lol: !

File gửi kèm  hinh.bmp   266.35K   128 Số lần tải

$\triangle BHM$ có $K$ trực tâm
$=>\widehat{HBK}=\widehat{HMK}$
và $\widehat{KBM}=\widehat{MHK}$ (cạnh t/ư vuông góc)

Cộng vế theo vế:
$\widehat{HBM}=\widehat{FKM}$

mà $H$ là trực tâm $\triangle ABC$ nên $\widehat{HBM}=\widehat{HAC}$

Vậy : $\widehat{HAC}=\widehat{FKM}$

=> ok

..................... ~O) ~O)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kelangthang: 17-01-2012 - 08:17

... Tìm được lời giải cho mỗi bài toán là một phát minh ...




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh