Chủ đề này có 2 trả lời

[ilikeit]

Mọi người giải giúp mình bài hệ này nhé:
$\left\{\begin{matrix}3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})\\ xy+yz+zx=1\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilikeit: 15-01-2012 - 12:39

[Crystal]

Mọi người giải giúp mình bài hệ này nhé:
$\left\{\begin{matrix}3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})\\ xy+yz+zx=1\end{matrix}\right.$

Nhận thấy $xyz \ne 0;x,y,z$ cùng dấu. Nếu $\left( {x,y,z} \right)$ là một nghiệm của hệ thì $\left( {-x,-y,-z} \right)$ cũng là nghiệm của hệ, do đó ta chỉ cần tìm nghiệm dương $x,y,z$.

Đặt $x = tg\alpha ;y = tg\beta ;z = tg\gamma \,\,\left( {\alpha ,\beta ,\gamma \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)$. Khi đó hệ tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}
3\left( {tg\alpha + \frac{1}{{tg\alpha }}} \right) = 4\left( {tg\beta + \frac{1}{{tg\beta }}} \right) = 5\left( {tg\gamma + \frac{1}{{tg\gamma }}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
tg\alpha tg\beta + tg\beta tg\gamma + tg\gamma tg\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$
$$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{1 + t{g^2}\alpha }}{{tg\alpha }}} \right) = 4\left( {\frac{{1 + t{g^2}\beta }}{{tg\beta }}} \right) = 5\left( {\frac{{1 + t{g^2}\gamma }}{{tg\gamma }}} \right) \Leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2\alpha }} = \frac{4}{{\sin 2\beta }} = \frac{5}{{\sin 2\gamma }}$$
$$\left( 2 \right) \Rightarrow tg\gamma \left( {tg\alpha + tg\beta } \right) = 1 - tg\alpha tg\beta \Rightarrow \cot g\gamma = \frac{{tg\alpha + tg\beta }}{{1 - tg\alpha tg\beta }} = tg\left( {\alpha + \beta } \right)$$
$$\Rightarrow tg\left( {\frac{\pi }{2} - \gamma } \right) = tg\left( {\alpha + \beta } \right) \Leftrightarrow \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}$$
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{\sin 2\alpha }} = \frac{4}{{\sin 2\beta }} = \frac{5}{{\sin 2\gamma }}\\
\alpha ,\beta ,\gamma \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right);\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ suy ra $2\alpha ,2\beta ,2\gamma $ là các góc của một tam giác có số đo ba cạnh là $3,4,5$. Đây chính là tam giác vuông nên
$$\left\{ \begin{array}{l}
2\gamma = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \gamma = \frac{\pi }{4} \Rightarrow z = tg\gamma = 1\\
tg2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{3}\\
tg2\beta = \frac{{2tg\beta }}{{1 - t{g^2}\beta }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\boxed{\left( {x;y;z} \right) = \left\{ {\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{2}; - 1} \right),\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2};1} \right)} \right\}}$

[Anny2008]

Mọi người giải giúp mình bài hệ này nhé:
$\left\{\begin{matrix}3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})\\ xy+yz+zx=1\end{matrix}\right.$

Bài này có thể làm như sau:
Đặt $3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z}=t$
$ ta có xy+yz+zx=1\rightarrow 1+x^{2}+1=(x+y)(x+z)$
$\rightarrow 3(x+\frac{1}{x}=(x+y)(x+z)\rightarrow tx(y+z)=3(x+y)(y+z)(z+x).$
$Chứng minh tương tự: \frac{xt(y+z)}{3}=\frac{yt(x+z)}{4}=\frac{zt(y+x)}{5}=(x+y)(y+z)(z+x)=\frac{2(xy+yz+zx)}{3+4+5}=\frac{1}{6}$
từ đó cũng suy ra kết quả

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anny2008: 15-01-2012 - 13:35