Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 19-01-2012 - 15:47
Crux vol 37 no4
#1
Đã gửi 16-01-2012 - 13:51
- PSW yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 17-01-2012 - 17:47
The problems from Crux Mathematicorum 37n4.
OC11. Gọi $A,B$ là các tập con khác rỗng và gồm hữu hạn phần từ của tập số nguyên. Ta xác đinh $A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}$ và $A-B=\{a-b|a\in A,b\in B\}$. Chứng minh rằng tồn tại tập $X\subset \mathbb{Z}$ thoả $|X|\leq\dfrac{|A+B|}{|A|}$ sao cho
$$B\subset X+A-A.$$
OC12. Gọi $k$ là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm $m$ luôn tồn tại $k$ số nguyên dương $n_1,n_2,…,n_k$ sao cho
$$n_1^2+n_2^2+…+n_k^2=5^{m+k}.$$
OC13. Cho tam giác nhọn $ABC$ và gọi $D$ là một điểm trên cạch $AB$. Đường tròn ngoại tiếp tâm giác $BCD$ cắt cạnh $AC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt cạnh $BC$ tại $F$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEF$. Chứng minh rằng các điểm $D,O$ và các tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADE, ACD, BDF, BCD$ cùng nằm trên một đường tròn và DO vuông góc với AB.
OC14. Cho $(a_n), (b_n)$ là hai dãy số nguyên thoả $a_1=1,b_1=0$ và
$$a_{n+1}=7a_n+12b_n+6,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n+3\forall n\geq 1.$$
Chứng minh rằng $a_n^2$ bằng tổng lập phương của hai số tự nhiên lien tiếp.
OC15. Một cái thước có độ dài bằng $l$ có $k\geq 2$ điểm được đánh số $a_i$ sao cho $0<a_1<a_2<…<a_k<l$. Một cái thước được gọi là thước Golomb nếu ……………
OC16. Cho $a_1\geq 1$ và $a_{k+1}\geq a_k+1,\forall k=1,2,…,n$. Chứng minh rằng
$$a_1^3+a_2^3+…+a_n^3\geq (a_1+a_2+…+a_n)^2.$$
OC17. Chứng minh rằng các đỉnh của ngũ giác lồi $ABCDE$ cùng nằm trên một đường tròn nếu và chỉ nếu
$$d(E,AB).d(E,CD)=d(E,AC).d(E,BD)=d(E,AD).d(E,BC).$$
OC18. Nếu $a_1,a_2,…,a_n$ là $n$ số phức phân biệt khác 0 và $k,l$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho hai dãy số $a_1^k,a_2^k,…,a_n^k$ và $a_1^l,a_2^l,…,a_n^l$ có những con số giống hệt nhau. Chứng minh rằng mỗi số $a_j, j=1…n$ là căn của đơn vị.
OC19. Một giải cờ có 64 thí sinh tham gia. Hai người bất kỳ gặp nhau đúng một lần và các ván đấu khi kết thúc chỉ có thắng hoặc hoà. Giả sử rằng sau một ván đấu của hai người bất kỳ thì 62 người còn lại thắng ít nhất một trong hai người đó và sau khi giải kết thúc có ít nhất hai ván đấu kết thúc với tỉ số hoà. Chứng minh rằng ta có thể xếp 64 thí trên thành một hang mà người đứng trước thắng người đứng sau.
OC20. Cho $n\geq 2$, xác định giá trị lớn nhất của tổng $x_1+x_2+…+x_n$ biết rằng $x_i$ là các số nguyên dương thoả $x_1\leq x_2\leq …\leq x_n$ và $x_1+x_2+…+x_n=x_1x_2…x_n$.
Theo math.vn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 19-01-2012 - 12:36
- huuhieuht và Tea Coffee thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh