Chủ đề này có 3 trả lời

[ngminhtuan]

$I=\int ln\left | sinx \right |dx$

[E. Galois]

Nguyên hàm này ko có kết quả sơ cấp. Bạn xem tại đây: http://www.wolframal...grate ln(sin x)

Tuy nhiên ta vẫn có thể tính được tích phân sau $I = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt$

Vì:
$$ \sin x \geq \dfrac{2x}{\pi}, \forall x \in \left [ 0;\dfrac{\pi}{2} \right ]$$
nên
$$\ln\left |\sin x\right |\geq \ln \dfrac{2x}{\pi}\Rightarrow 0 \leq - \ln (\sin x) \leq -\ln x + \ln \dfrac{2x}{\pi}$$
Do đó tích phân $I$ hội tụ.

Đặt $t = 2x$ ta có
$I = 2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\ln 2\, dx+2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\ln (\sin x )\, dx+2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\ln (\cos x )\, dx$
$ =\dfrac{\pi}{2}\ln 2+2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\ln (\sin x )\, dx+2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\ln\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right)\, dx $

$ =\dfrac{\pi}{2}\ln 2+\underbrace{2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\ln (\sin x )\, dx+2\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{{\dfrac{\pi}{2}}}\ln (\sin x )\, dx}_{2\textbf{I}} $

$ \textbf{I}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t) dt =\boxed{-\dfrac{\pi}{2}\ln 2} $

[Crystal]

Tuy nhiên ta vẫn có thể tính được tích phân sau $I = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt$

Chào anh Thế. Em xin trình bày một cách khác.

Đặt $y = \frac{\pi }{2} - x$, ta được $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \cos ydy} $$
Đặt $z = \frac{x}{2}$, ta được $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \sin 2zdz} $$
Do đó: $$I + I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \sin xdx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \cos xdx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \sin 2xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln 2dx} } } } = I - \frac{\pi }{2}\ln 2$$
Vậy $I = \boxed{ - \frac{\pi }{2}\ln 2}$

[E. Galois]

@Thành: Cách của hai anh em mình có gì khác nhau đâu nhỉ