Cho x,y,z >0.CMR:
$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+a+c)^{2}}{2b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{(2c+a+b)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq 8$
CMR: $\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8$
Bắt đầu bởi cool hunter, 16-01-2012 - 21:31
#1
Đã gửi 16-01-2012 - 21:31
cool hunter
-
- Thành viên
-
- 544 Bài viết
Thiếu úy
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#2
Đã gửi 16-01-2012 - 21:46
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Giả sử $a+b+c=1$
$VT=\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(1-a)^2}=\sum \frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}=\sum \frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}$
CM đánh giá sau
$\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Làm tương tự với 2 biểu thức còn lại, Rồi cộng lại ta có đpcm
$VT=\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(1-a)^2}=\sum \frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}=\sum \frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}$
CM đánh giá sau
$\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Làm tương tự với 2 biểu thức còn lại, Rồi cộng lại ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-01-2012 - 21:13
- perfectstrong, cool hunter, Cao Xuân Huy và 4 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 17-01-2012 - 21:16
cool hunter
-
- Thành viên
-
- 544 Bài viết
Thiếu úy
Tại sao lại Giả sử a+b+c=1 ?Giả sử $a+b+c=1$
$VT=\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(1-a)^2}=\sum \frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}=\sum \frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}$
CM đánh giá sau
$\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Làm tương tự với 2 biểu thức còn lại, Rồi cộng lại ta có đpcm
Tại sao lại rút ra đánh giá $\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Mong bạn giải thích dùm.
Hình như cách giải có phần ko tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vtduy97: 17-01-2012 - 21:19
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#4
Đã gửi 17-01-2012 - 21:26
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Do đây là BĐT thuần nhất đối xứng nên mình có quyền chuẩn hoá $a+b+c=1$ để biểu thức gọn hơn.Tại sao lại Giả sử a+b+c=1 ?
Tại sao lại rút ra đánh giá $\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Mong bạn giải thích dùm.
Hình như cách giải có phần ko tự nhiên.
Còn cái đánh giá $\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Mình dùng phương pháp tiếp tuyến
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#5
Đã gửi 17-01-2012 - 21:51
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
$\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}=\frac{1}{3}+\frac{8a+2}{9a^2-6a+3}=\frac{1}{3}+\frac{8a+2}{(3a-1)^2+2} \leq 4a +\frac{4}{3}$Tại sao lại Giả sử a+b+c=1 ?
Tại sao lại rút ra đánh giá $\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leq 4a-\frac{4}{9}$
Mong bạn giải thích dùm.
Hình như cách giải có phần ko tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 17-01-2012 - 21:52
- cool hunter yêu thích
#6
Đã gửi 21-01-2012 - 10:43
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#7
Đã gửi 30-04-2021 - 20:08
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho x,y,z >0.CMR:
$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+a+c)^{2}}{2b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{(2c+a+b)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq 8$
Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
