Bài 14: Chứng minh rằng, nếu $z+z^{-1}=\sqrt{3}$ thì ta có $$z^{2020}+z^{-2020}=-1.$$
Đề thi thử trường Trần Quốc Tuấn lần 3 2012
Từ $z+z^{-1}=\sqrt{3 }\Rightarrow z+\frac{1}{z }= \sqrt{3 }$
$\Rightarrow z = \frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{1}{2}i = cos\frac{\pi }{6}\pm i sin\frac{\pi }{6}$
Áp dụng công thức Moivre, ta có :
$z^{2020}+z^{-2020}= z^{2020}+\frac{1}{z^{2020}}= (cos\frac{\pi }{6}\pm i sin\frac{\pi }{6})^{2020}+ \frac{1}{(cos\frac{\pi }{6}\pm i sin\frac{\pi }{6})^{2020}}$
$=cos\frac{2020\pi }{6}\pm i sin\frac{2020\pi }{6}+\frac{1}{cos\frac{2020\pi }{6}\pm i sin\frac{2020\pi }{6}}$
$=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i+ \frac{1}{-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i}= -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i+-\frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3}}{2}i= -1$