Chủ đề này có 1 trả lời

[buimaihuong]

Hệ phương trình

Giúp mình câu này nhé!

$\left\{\begin{matrix} x^{3} -3x^{2}y -3x +y = 0 & & \\ y^{3} -3y^{2}z -3y +z = 0 & & \\ z^{3} - 3z^{2}x -3z + x = 0 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-01-2012 - 22:05

[perfectstrong]

Bài này đâu phải là toán THCS.
Lời giải:
\[{x^3} - 3{x^2}y - 3x + y = 0 \Leftrightarrow y\left( {1 - 3{x^2}} \right) = 3x - {x^3}\]
Nếu $x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow y \in \emptyset $
Do đó, suy ra $x;y;z \ne \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Đặt
\[x = \tan a;y = \tan b;z = \tan c\left( {a;b;c \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)} \right)\]
\[\begin{array}{l}
hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{3x - {x^3}}}{{1 - 3{x^2}}} \\
z = \frac{{3y - {y^3}}}{{1 - 3{y^2}}} \\
x = \frac{{3z - {z^3}}}{{1 - 3{z^2}}} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\tan b = \tan 3a \\
\tan c = \tan 3b \\
\tan a = \tan 3c \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3a + {k_1}\pi \\
c = 3b + {k_2}\pi \\
a = 3c + {k_3}\pi \\
\end{array} \right.\left( {{k_i} \in \mathbb{Z} } \right) \\
\frac{{ - \pi }}{2} < b < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{ - \pi }}{2} < 3a + {k_1}\pi < \frac{\pi }{2} \\
a > \frac{{ - \pi }}{2} \Rightarrow {k_1}\pi < \frac{\pi }{2} - 3a < \frac{\pi }{2} + \frac{{3\pi }}{2} = 2\pi \Rightarrow {k_1} < 2 \\
a < \frac{\pi }{2} \Rightarrow {k_1}\pi > \frac{{ - \pi }}{2} - 3a > \frac{{ - \pi }}{2} - \frac{{3\pi }}{2} = - 2\pi \Rightarrow {k_1} > - 2 \\
\Rightarrow {k_1} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\} \\
{k_2};{k_3} \in \left\{ { - 1;0;1} \right\} \\
\end{array}\]
Tới đây lý luận tiếp, để về nhà mình làm tiếp.