ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP CHUYÊN 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1:a) Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{3b-d},a.c\neq 0$
Chứng minh rằng $b^2=d^2$.
b) Giải hệ phương trình sau
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{xy - 3}} = \frac{{3 - x - y}}{{7 - {x^2} - {y^2}}}\\
\frac{{y - 2}}{{xy - 4}} = \frac{{3 - x - y}}{{7 - {x^2} - {y^2}}}
\end{array} \right.\]
Câu 2: Giải bất phương trình
a) $2x+1\leq \sqrt{8x+9}$
b) Cho a,b,c thuộc [-1;2] thoả mãn $a^2+b^2+c^2=6$
Chứng minh rằng: $a+b+c\geq 0$
Câu 3:
a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho
$a^2+a=2010^{2009}$
b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho
$a^2+a+a^3=2010^{2009}$
Câu 4: Cho trường tròn (O) tâm O, đường kính AB=2R. C là 1 điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C.Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C. Hạ HE,HF vuông góc AC,BC tương ứng. Các đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K
a) Tính theo R diện tích tam giác CEF và độ dài các đoạn KA,KB trong trường hợp $\widehat{BAC}=60^0$
b) Hạ EP, FQ vuông góc AB. Chứng minh rằng đường tròn đường kính PQ tiếp xúc đường thẳng EF.
c) Gọi D là giao điểm (O) và đường kính CH, $D\neq C$. Chứng minh rằng $KA.KB=KH^2$ và giao điểm M của các đường thẳng CD và EF luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5: Trên một đường tròn, người ta sắp xếp các số 1,2,3,...,10 (mỗi số xuất hiện đúng 1 lần)
a) Chứng minh rằng tồn tại 1 cách xếp mà mà tổng 2 số kề nhau đều lớn hơn 10.
b) Tồn tại hay không một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10.
----Hết----
Thời gian làm bài tính từ lúc đánh đềCán bộ coi thi không giải thích gì thêm
___
Đề này không dễ ăn đâu