Chủ đề này có 1 trả lời

[caubeyeutoan2302]

Bài toán :

Bạn hãy tìm một dãy dài nhất bao gồm các số nguyên dương phân biệt mà con số đầu tiên là số 1 và số cuối cùng có dạng $ 31^a.5^b.1990^c$ sao cho mỗi số chia hết cho số dứng trước nó . Có bao nhiêu dãy có độ dài này ?

Gợi ý : Mỗi số có trong dãy thỏa mãn đề như thế thì phải có nhiều hơn một thừa số nguyên tố đứng trước nó ., từ đó ta phân tích và tìm kết quả .

[chanhquocnghiem]

Bài toán :
 

Bạn hãy tìm một dãy dài nhất bao gồm các số nguyên dương phân biệt mà con số đầu tiên là số 1 và số cuối cùng có dạng $ 31^a.5^b.1990^c$ sao cho mỗi số chia hết cho số dứng trước nó . Có bao nhiêu dãy có độ dài này ?

Gợi ý : Mỗi số có trong dãy thỏa mãn đề như thế thì phải có nhiều hơn một thừa số nguyên tố đứng trước nó ., từ đó ta phân tích và tìm kết quả .

 

Đề bài cần bổ sung : "Cho trước $3$ số nguyên dương $a,b,c$.Bạn hãy tìm một dãy dài nhất ..."

 

Giả sử dãy số cần tìm có $m$ số nguyên dương phân biệt :

Số thứ nhất là $N_{1}=1=2^0.5^0.31^0.199^0$

Số cuối cùng là $N_{m}=31^a.5^b.1990^c=31^a.5^b.(2.5.199)^c=2^c.5^{b+c}.31^a.199^c$

Hai số liên tiếp trong dãy là $N_{k}=2^{p_{k}}.5^{q_{k}}.31^{r_{k}}.199^{s_{k}}$ và $N_{k+1}=2^{p_{k+1}}.5^{q_{k+1}}.31^{r_{k+1}}.199^{s_{k+1}}$ phải thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}p_{k+1}\geqslant p_{k}\\q_{k+1}\geqslant q_{k}\\r_{k+1}\geqslant r_{k}\\s_{k+1}\geqslant s_{k} \end{matrix}\right.$

trong đó $4$ dấu bằng không xảy ra đồng thời.

Đặt $T_{k}$ là tổng các số mũ của các thừa số $2;5;31;199$ của số $N_{k}$ ($T_{k}$ là số nguyên và $T_{k}=p_{k}+q_{k}+r_{k}+s_{k}$)

Ta có $T_{1}<T_{2}<...<T_{k}<T_{k+1}<...<T_{m}$

$T_{1}=0$ ; $T_{m}=c+(b+c)+a+c=a+b+3c$

Từ $0$ đến $a+b+3c$ có tất cả $a+b+3c+1$ số nguyên $\Rightarrow$ giá trị lớn nhất của $m$ là $a+b+3c+1$

Vậy dãy số dài nhất thỏa mãn đề bài có $a+b+3c+1$ số.

Thử nêu một dãy như vậy :

$\left \{ 1;2^1;2^2;...;2^c;2^c.5^1;2^c.5^2;...;2^c.5^{b+c};2^c.5^{b+c}.31^1;2^c.5^{b+c}.31^2;...;2^c.5^{b+c}.31^a;2^c.5^{b+c}.31^a.199^1;...;2^c.5^{b+c}.31^a.199^c \right \}$

(dãy có tất cả $a+b+3c+1$ số)

Có bao nhiêu dãy có độ dài như vậy ?

Bài toán này tương đương với bài toán : Có bao nhiêu cách sắp xếp $a+b+3c$ thừa số (gồm $c$ thừa số 2; $b+c$ thừa số 5; $a$ thừa số 31; $c$ thừa số 199) thành một tích ?

+ Chọn vị trí cho $a$ thừa số 31 : $C_{a+b+3c}^{a}$ cách

+ Chọn vị trí cho $c$ thừa số 2 : $C_{b+3c}^{c}$ cách

+ Chọn vị trí cho $c$ thừa số 199 : $C_{b+2c}^{c}$ cách

   (Các vị trí còn lại điền thừa số 5 vào)

Đáp án là $C_{a+b+3c}^{a}.C_{b+3c}^{c}.C_{b+2c}^{c}$ cách

Vậy có $C_{a+b+3c}^{a}.C_{b+3c}^{c}.C_{b+2c}^{c}$ dãy số khác nhau có độ dài như vậy (chứa $a+b+3c+1$ số) thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-10-2014 - 20:53