Chủ đề này có 1 trả lời

[T3P]

1. Tính: $I=\int_{0}^{2\pi} \sin(\sin{x}-nx)dx \; (n\in \mathbb{Z})$

2. Cho các số thực ${a_1},{a_2},...,{a_n}$

Giả sử: ${a_1}\cos x + {a_2}\cos 2x + ... + {a_n}\cos nx = 0\;\forall x \in [0;2\pi ]$

Tính ${a_1},{a_2},...,{a_n}$
---------------------------
Bạn chú ý gõ $\LaTeX$ nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 29-01-2012 - 19:36
$\LaTeX$ fixed

[duongtoi]

Đặt $x=t-\pi$. Ta được
$I=\int_{-\pi}^{\pi}{\sin(\sin(t-\pi)-n(t-\pi)){\rm d}t}=\int_{-\pi}^{\pi}{\sin(-\sin(t)-nt+n\pi){\rm d}t}=\pm \int_{-\pi}^{\pi}{\sin(\sin(t)+nt){\rm d}t}.$
Nhận xét,
Hàm số $\sin(\sin t+nt)$ là hàm số lẻ vì $\sin(\sin(-t)+n(-t))=-\sin(\sin t+nt).$
Do vậy, tích phân $\int_{-\pi}^{\pi}{\sin(\sin(t)+nt){\rm d}t}=0$. Suy ra, $I=0.$