Chủ đề này có 3 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU -ĐHQG TPHCM NĂM HỌC 2007-2008

Dành cho thí sinh chuyên Toán-Tin

Thời gian làm bài:150 phút

Câu 1:
1) Cho phương trình $x^2-xm+2m-2=0(1)$
a) Cmr: (1)không thể có 2 nghiệm đều âm
b) Giả sử $x_1;x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Chứng minh rằng biểu thức $$\frac{(x_1^2-2x_1+2)(x_2^2-2x_2+2)}{x_1^2+x_2^2}$$ không phụ thuộc vào m
2) Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = {z^2} + {y^2}\\
y = {x^2} + {z^2}\\
z = {x^2} + {y^2}
\end{array} \right.\]

Câu 2:Cho tam gáic ABC ko cân. Đường tròn nội típ tâm I tiếp xúc với BC,AB,AC theo thứ tự

D,F,E. Đường thẵng EF cắt AI tại J và BC tại K

1) cm tam giác IDA và IJD đồng dạng

2) cm KI vuông góc với AD.

Câu 3: cho góc xAy vuông và 2 điểm B,C lần lượt trên các tia Ax,Ay.Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc AB, N thuộc AC và P,Q thuộc BC.

1) tính cạnh hình vuông MNPQ theo $BC=a$ và đường cao AH=h của tam gáic ABC.

2)cho B và C thay đổi trên tia Ax và Ay sao cho các tích $AB.AC=k^2$ ($k^2$ ko đổi). Tìm GTLN của diện tích MNPQ.

Câu 4: một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phươg các chữ số của nó.

1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.

Câu 5:

Trong 1 giãi vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. theo điều lệ giải, 2 đội bất kì đấu với nhau đúng 1 trận, đội thắng đc 3 điểm, đội hòa 1 điểm và thua 0 điểm. Kết thúc, số điểm các đội lần lượt là

$D_1;D_2;D_3;D_4;D_5;D_6(D_1\geq D_2\geq D_3\geq D_4\geq D_5\geq D_6)$. Biết rằng đội bống với số điểm $D_1$ thua đúng một trận và $D_1=D_2+D_3=D_4+D_5+D_6$. Hãy tìm $D_1$ và $D_6$

___Hết___

[hoangtrong2305]

Câu 1:
1) Cho phương trình $x^2-xm+2m-2=0(1)$
a) Cmr: (1)không thể có 2 nghiệm đều âm
b) Giả sử $x_1;x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Chứng minh rằng biểu thức $$\frac{(x_1^2-2x_1+2)(x_2^2-2x_2+2)}{x_1^2+x_2^2}$$ không phụ thuộc vào m

a)

$x^2-xm+2m-2=0$

Giả sử phương trình có 2 nghiệm đều âm, sử dụng $Viete$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m\\ x_{1}.x_{2}=2m-2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<0\\ 2m-2> 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<0\\ m> 1 \end{matrix}\right.$

=> Không có giá trị $m$ thoả mãn

=> Phương trình không có 2 nghiệm đều âm

b)

$\frac{(x_1^2-2x_1+2)(x_2^2-2x_2+2)}{x_1^2+x_2^2}$

$\Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2}x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})+4x_{1}x_{2}+2[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]-4(x_{1}+x_{2})+4}{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}$(2)

Theo $Viete$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m\\ x_{1}.x_{2}=2m-2 \end{matrix}\right.$

Thay vào (2)

$\Leftrightarrow \frac{(2m-2)^{2}-2m(2m-2)+4(2m-2)+2[m^{2}-2(2m-2)]-4m+4}{m^{2}-2(2m-2)}$

$=\frac{2(m^{2}-4m+4)}{m^{2}-4m+4}$

$=2$

$\Rightarrow$ biểu thức $\frac{(x_1^2-2x_1+2)(x_2^2-2x_2+2)}{x_1^2+x_2^2}$ không phụ thuộc vào m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 01-02-2012 - 11:40

[MIM]

2) Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = {z^2} + {y^2}\\
y = {x^2} + {z^2}\\
z = {x^2} + {y^2}
\end{array} \right.\]

$\left\{ \begin{array}{l}
x = {z^2} + {y^2}(1)\\
y = {x^2} + {z^2}(2)\\
z = {x^2} + {y^2}(3)
\end{array} \right.$
Lấy $(1)-(2)$ ta được $x-y=(y-x)(y+x)$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+1)=0$
$\Rightarrow x=y$ hoặc $x=-y-1$
Xong rùi thế vào ............

[hoangtrong2305]

Câu 4: một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phươg các chữ số của nó.

1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.

Thử cách này xem sao, độ chuẩn chưa đảm bảo

1)

Giả sử tồn tại số bạch kim có 3 chữ số

Kết hợp giả thiết, ta cần chứng minh:

$\overline{abc}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow 100a+10b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ (với $\left\{\begin{matrix} a \in [1,9]\\ b,c \in [0,9] \end{matrix}\right.$ và $a,b,c \in \mathbb{N}$)

Nhận xét:

$a^{2}-100a=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\\ a=100 \end{bmatrix}$ (loại)

$\Rightarrow 100a>a^{2}$ (1)

Chứng minh tương tự:

$10b \geq b^{2}$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=0$) (2)

$c \geq c^{2}$ (đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow c=0$) (3)

$(1);(2);(3) \Rightarrow 100a+10b+c> a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Dấu đẳng thức không xảy ra, vậy điều giả sử ban đầu là sai

$\Rightarrow$ Không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số.



2)

* Giả sử ta có số bạch kim có 1 chữ số là $\overline{a}$

$\Rightarrow a=a^{2}$ (với $a \in [1,9]$ và $a\in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow a=1$

Vậy $1$ là số bạch kim



*Giả sử ta có số bạch kim có $i$ chữ số, với $i>1$ và $i\in \mathbb{N}$

Ta cần chứng minh:

$\overline{a_{1}a_{2}a_{3}.....a_{i} }=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+ a_{i}^{2}$

$\Leftrightarrow 10^{i-1}a_{1}+10^{i-2}a_{2}+10^{i-3}+a_{3}+...+a_{i}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+ a_{i}^{2}$

Làm tương tự như câu 1), ta được

$10^{i-1}a_{1}+10^{i-2}a_{2}+10^{i-3}a_{3}+...+ a_{i}>a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+ a_{i}^{2}$

$\Rightarrow$ Điều giả sử là sai

$\Rightarrow$ Không tồn tại số bạch kim có $i$ chữ số, với $i>1$ và $i\in \mathbb{N}$



Kết luận: Có $1$ số bạch kim là số $1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 07-02-2012 - 18:54