ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU -ĐHQG TPHCM NĂM HỌC 2007-2008
Dành cho thí sinh chuyên Toán-Tin
Thời gian làm bài:150 phút
Câu 1:1) Cho phương trình $x^2-xm+2m-2=0(1)$
a) Cmr: (1)không thể có 2 nghiệm đều âm
b) Giả sử $x_1;x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Chứng minh rằng biểu thức $$\frac{(x_1^2-2x_1+2)(x_2^2-2x_2+2)}{x_1^2+x_2^2}$$ không phụ thuộc vào m
2) Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = {z^2} + {y^2}\\
y = {x^2} + {z^2}\\
z = {x^2} + {y^2}
\end{array} \right.\]
Câu 2:Cho tam gáic ABC ko cân. Đường tròn nội típ tâm I tiếp xúc với BC,AB,AC theo thứ tự
D,F,E. Đường thẵng EF cắt AI tại J và BC tại K
1) cm tam giác IDA và IJD đồng dạng
2) cm KI vuông góc với AD.
Câu 3: cho góc xAy vuông và 2 điểm B,C lần lượt trên các tia Ax,Ay.Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc AB, N thuộc AC và P,Q thuộc BC.
1) tính cạnh hình vuông MNPQ theo $BC=a$ và đường cao AH=h của tam gáic ABC.
2)cho B và C thay đổi trên tia Ax và Ay sao cho các tích $AB.AC=k^2$ ($k^2$ ko đổi). Tìm GTLN của diện tích MNPQ.
Câu 4: một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phươg các chữ số của nó.
1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số.
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.
Câu 5:Trong 1 giãi vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. theo điều lệ giải, 2 đội bất kì đấu với nhau đúng 1 trận, đội thắng đc 3 điểm, đội hòa 1 điểm và thua 0 điểm. Kết thúc, số điểm các đội lần lượt là
$D_1;D_2;D_3;D_4;D_5;D_6(D_1\geq D_2\geq D_3\geq D_4\geq D_5\geq D_6)$. Biết rằng đội bống với số điểm $D_1$ thua đúng một trận và $D_1=D_2+D_3=D_4+D_5+D_6$. Hãy tìm $D_1$ và $D_6$
___Hết___