anh xin giải quyết đốivới người học lớp8 như anh thì nên áp dụng hàng đẳng thức.Đặt
$A = 3^p - 2^p - 1$
Do $p$ nguyên tố và $p > 7$ nên $p$ lẻ; áp dụng hai hằng đẳng thức:
$aⁿ - bⁿ = (a-b)[a^{(n-1)} + a^{(n-2)}b + ... + b^{(n-1)}] = (a-b).k$
$aⁿ + bⁿ = (a+b)[a^{(n-1)} - a^{(n-2)}b +...+ b^{(n-1)}] = (a+b).q $(với $n $lẻ)
$3^p - 1 = (3-1)k = 2k $chia hết cho $2$ ; $2^p$ chia hết cho $2$ (hiển nhiên)
$\iff A = 3^p - 1 - 2^p = 2k - 2^p$ chia hết cho $2$
$3^p$ chia hết cho $3$
$2^p+1 = (2+1).k = 3k$ chia hết cho $3$ (vì $p$ lẻ)
$A = 3^p - 3k$ chia hết cho $3$
do $p$ nguyên tố $> 7$ nên có dạng $p = 6n+1$ hoặc $p = 6n+5$ (n nguyên dương)
Nếu $p = 6n+1$
$3^p = 3^{(6n+1)} = 3.3^{6n} = 3.729ⁿ - 3 + 3 = 3(729ⁿ - 1) + 3$
$= 3.728.k + 3 = 3.7.104k + 3$
$\iff 3^p - 3$ chia hết cho $7$
$2^p = 2^(6n+1) = 2.64ⁿ = 2(64ⁿ -1) + 2 = 2.63.k + 2$
$\iff 2^p - 2$ chia hết cho $7$
Vậy $A = (3^p - 3) - (2^p - 2)$ chia hết cho $7$
$ Nếu p = 6n + 5$
$3^p = 3^{(6n+5)} = 3⁵.3^{6n} = 3⁵(729ⁿ - 1) + 3⁵ = 3⁵.728k + 243$
$= 7(3⁵.104k + 34) + 5$
$\to 3^p - 5 chia hết cho 7$
$2^p = 2^(6n+5) = 32.64ⁿ = 32(64ⁿ -1) + 32 = 32.63k + 28 + 4$
$= 7(32.9k + 4) + 4$
$\iff 2^p - 4$ chia hết cho $7$
Vậy $A = (3^p - 5) - (2^p - 4)$ chia hết cho $7$
Mặt khác, ta áp dụng định lí $Fermat$ nhỏ:
$3^p - 3$ chia hết cho $p$
$2^p - 2 $chia hết cho $p$
$\iff A = (3^p - 3) - (2^p - 2)$ chia hết cho $p$
Mà $A\vdots 3;2;7;p\iff A\vdots 42p\to G.E.D$
ps:Còn có một cách rất đẹp mắt và ngắn gọn đó là dùng đồng dư
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 05-02-2012 - 13:10