Chủ đề này có 6 trả lời

[lalalala]

Cho a , b ,c ,d > 0 . CMR
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d}+ \frac{c}{d + a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lalalala: 03-02-2012 - 22:15

[khanh3570883]

Cho a , b ,c ,d > 0 . CMR
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d}+ \frac{c}{d + a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$VT\left[ {a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + d} \right) + c\left( {d + a} \right) + d\left( {a + b} \right)} \right] \ge {\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
Ta cần chứng minh:
$\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2} \ge 2\left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2bd} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 2ca + 2bd\\
\Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} \ge 0
\end{array}$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.

[kuhaza]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$VT\left[ {a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + d} \right) + c\left( {d + a} \right) + d\left( {a + b} \right)} \right] \ge {\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
Ta cần chứng minh:
$\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2} \ge 2\left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2bd} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 2ca + 2bd\\
\Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} \ge 0
\end{array}$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.

bạn có thể phân tích rõ hơn chỗ bđt bunhia đc ko

[hoangkimca2k2]

mình cx chưa hiểu chỗ này lắm

[Master Kaiser]

bạn có thể phân tích rõ hơn chỗ bđt bunhia đc ko

BĐT bunhia cho bộ 4 số $(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)\geq (a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2)^2$

 

Áp dụng cho $a_1=\sqrt{\frac{a}{b+c}}$, $b_1=\sqrt{\frac{b}{c+a}}$, $c_1=\sqrt{\frac{c}{d+a}}$, $d_1=\sqrt{\frac{d}{a+b}}$

                     $a_2=\sqrt{a(b+c)}$, $b_2=\sqrt{b(c+d)}$, $d_2=\sqrt{c(d+a)}$, $d_2=\sqrt{d(a+b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Kaiser: 26-09-2017 - 22:12

[hoangkimca2k2]

cảm ơn bạn nha

[toanhoc2017]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$VT\left[ {a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + d} \right) + c\left( {d + a} \right) + d\left( {a + b} \right)} \right] \ge {\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
Ta cần chứng minh:
$\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2} \ge 2\left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2bd} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 2ca + 2bd\\
\Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} \ge 0
\end{array}$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Hay