Chủ đề này có 10 trả lời

[Ispectorgadget]

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XVII NĂM 2011
Khoá ngày 09 tháng 4 năm 2011
Môn toán lớp 10
Thời gian làm bài 180
Câu 1: (3đ)
Giải phương trình sau trên tập số thực.
$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$
Câu 2: (3đ)
Cho số nguyên dương n và $d_1$ là 4 ước nguyên dương nhỏ nhất của n. TÌm tất cả các số nguyên n sao cho$n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$.
Câu 3: (3đ)
Trong mặt phẳng cho góc xOy và hai điểm A nằm trên Ox, B nằm trên Oy sao cho tam giác OAB cân tại O. $\Delta$ là một đường thẳng di động không đi qua O nhưng đi qua trung điểm I của BA và cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại các điểm C,D. Gọi M là trung điểm CD, N là giao điểm OM và AB, H là hình chiêu vuông góc của N trên CD. Khi $\Delta$ di động, hãy tìm quỹ tích điểm H
Câu 4: (4đ)
Cho a,b,c là 3 số thực không âm thoả mãn$a^2+4b^2+9c^2=14$
Chứng minh rằng$3b+8c+abc\leq 12$
Câu 5: (3 đ)
Chứng minh rằng từ 2011 số nguyên dương bất kì luôn có thể chọn ra được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 4018
Câu 6: (4đ)
Cho elip (E)$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng ($\Delta$): $\sqrt{2}x-2y+4=0$. Gọi B,C là giao điểm của ($\Delta$) và (E), $y_b>y_c$ và A là tiếp điểm trên (E) sao cho khoảng cách từ A đến ($\Delta$) là lớn nhất. Tìm điểm M trên (E) để khoảng cách từ M đến đường thẳng AB là lớn nhất.

_______________Hết_____________

Không được sử dụng máy tính cầm tay để làm bài.

[Didier]

Câu 5: (3 đ)
Chứng minh rằng từ 2011 số nguyên dương bất kì luôn có thể chọn ra được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 4018

$a_{1},...,a_{2011}$
$a_{i}\equiv j (mod4018)$
$i\in (1,2...2011)$
$j\in (-2009,-2008,....-1,0,1,.....2009)$
dễ thấy các số không cùng số dư vì nếu cùng số dư thì ch ỉ cần trừ cho nhau l à chia h ết cho 4018
vậy $(a_{i},a_{i^{,}})\equiv (j,j^{,})(mod 4018)$
ở đây $j,j^{,}$ phân biệt
có 2011 số mà ch ỉ t ìm đ ược nhiều nhất 2009 cặp số dư vậy tồn tài 2 số thuộc cùng một cặp số dư vậy có đpcm

Bài 1 đặt ẩn cho cái căn bậc 3
Bài 2 cauchy là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 04-02-2012 - 19:27

[ducthinh26032011]

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XVII NĂM 2011
Khoá ngày 09 tháng 4 năm 2011
Môn toán lớp 10
Thời gian làm bài 180
Câu 1: (3đ)
Giải phương trình sau trên tập số thực.
$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$
$\Leftrightarrow x^3-15x^2+78x-136=5\sqrt[3]{2x-9}+5$
$\Leftrightarrow (x-4)(x^{2}-11x+34)=\frac{10(x-4)}{\sqrt[3]{(2x-9)^{2}}-\sqrt[3]{2x-9}+1}$
$\Leftrightarrow x=4$

[namcpnh]

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XVII NĂM 2011
Khoá ngày 09 tháng 4 năm 2011
Môn toán lớp 10
Thời gian làm bài 180
Câu 4: (4đ)
Cho a,b,c là 3 số thực không âm thoả mãn$a^2+4b^2+9c^2=14$
Chứng minh rằng$3b+8c+abc\leq 12$

Bài này mình có cách khác bài giải.

Dự đoán $a=b=c=1$ thì đẳng thức xảy ra.
Từ đó theo nguyên lí Dirichlet ta có trong 3 số a-1,b-1,c-1 luôn có 2 số có tích không âm,giả sử là $(a-1)(b-1)\geq 0$

=>$ab-a-b+1\geq 0$

=>$ab\geq a+b-1$

Khi đó: $3b+8c+abc=a+4b+9c-1$

Bây giờ chỉ cần CM $a+4b+9c-1\geq 12$

<=>$2a+8b+18c\geq 26$

Thay ĐK vào ta được:$a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+12\geq 2a+8b+18c$

<=>$(a-1)^{2}+4(b-1)^{2}+9(c-1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=>$a=b=c=1$

Vậy BĐT được CM.

[tieulyly1995]

Câu 1: (3đ)
Giải phương trình sau trên tập số thực.
$x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

$PT \Leftrightarrow (x-5)^{3}= -3x + 5(5+\sqrt[3]{2x-9})-9$
Đặt $y=5+ \sqrt[3]{2x-9}$
Ta có :
$\left\{ \begin{matrix}(x-5)^{3}= -3x +5y-9 \\ (y-5)^{3}= 2x-9 \end{matrix}\right.$
Trừ vế với vế, ta được :
$(x-5)^{3} +5x= (y-5)^{3} +5y$
Xét hàm $f(t)=( t-5)^{5}+5t$ có $f'(t)= 5(t-5)^{4}+5 > 0 \forall t$ nên hàm $f(t)$ đồng biến trên R
mà $f(x)=f(y)$ nên $x=y$
Khi đó :
$(x-5) ^{3} = 2x -9$
$\Leftrightarrow x^{3}- 15x^{2}+73x-116=0$
$\Leftrightarrow (x-4)(x^{2}-11x+29)=0$
$\Leftrightarrow x=4 \vee x=\frac{11\pm \sqrt{5}}{2}$
Vậy PT có tập nghiệm là $S=\left \{ 4; \frac{11+ \sqrt{5}}{2} ; \frac{11- \sqrt{5}}{2} \right \}$

[ongngua97]

Khi đó: $3b+8c+abc=a+4b+9c-1$
 

làm sao suy ra vậy được anh? 

[bachhammer]

làm sao suy ra vậy được anh? 

Chắc ông nam viết nhầm đó, phải là $3b+8c+abc\geq a+4b+9c-1$ bạn ơi!!

[holmes2013]

Câu 4

 

http://mathifc.wordp...inequality-102/

[cobetinhnghic96]

Bài 1

$\left ( x-5 \right )^{3}+5\left ( x-5 \right )=\left ( 2x-9 \right )+\sqrt[3]{2x-9}$

Xét hàm số:$f\left ( t \right )=t^{3}+5t$ luôn đồng biến với mọi t

Suy ra : $x-5=\sqrt[3]{2x-9}$

Giải ra;$x=4       x=\frac{11+\sqrt{5}}{2}          x=\frac{11-\sqrt{5}}{2}$

[phamchungminhhuy]

$PT \Leftrightarrow (x-5)^{3}= -3x + 5(5+\sqrt[3]{2x-9})-9$
Đặt $y=5+ \sqrt[3]{2x-9}$
Ta có :
$\left\{ \begin{matrix}(x-5)^{3}= -3x +5y-9 \\ (y-5)^{3}= 2x-9 \end{matrix}\right.$
Trừ vế với vế, ta được :
$(x-5)^{3} +5x= (y-5)^{3} +5y$
Xét hàm $f(t)=( t-5)^{5}+5t$ có $f'(t)= 5(t-5)^{4}+5 > 0 \forall t$ nên hàm $f(t)$ đồng biến trên R
mà $f(x)=f(y)$ nên $x=y$
Khi đó :
$(x-5) ^{3} = 2x -9$
$\Leftrightarrow x^{3}- 15x^{2}+73x-116=0$
$\Leftrightarrow (x-4)(x^{2}-11x+29)=0$
$\Leftrightarrow x=4 \vee x=\frac{11\pm \sqrt{5}}{2}$
Vậy PT có tập nghiệm là $S=\left \{ 4; \frac{11+ \sqrt{5}}{2} ; \frac{11- \sqrt{5}}{2} \right \}$

hình như cách của bạn sai kết quả rùi chỉ có 4 mới thỏa còn 2 nghiệm lại là sai 

[kudoshinichi0807]

sao không ai giải bài số học vậy!!!