Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Tìm $\max$ của biểu thức : $P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-01-2005 - 10:38

Anh em giúp một tay nhé :
Cho $x,y,z$ là các hằng số, $A,B,C$ là ba góc tam giác.Tìm $\max$ của biểu thức :
$P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 12-12-2012 - 17:00

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#2 kingrealm

kingrealm

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 12-12-2012 - 06:20

Truoc het, chuyen thanh dang cos, roi ap dung bdt klamkin

#3 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-12-2012 - 11:59

Anh em giúp một tay nhé :
Cho $x,y,z$ là các hằng số, $A,B,C$ là ba góc tam giác.Tìm $\max$ của biểu thức :
$P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$.

Ta có $x\sin^{2}A + y\sin^{2}B + z\sin^{2}C = x.\frac{1 - \cos 2A}{2} + y.\frac{1 - \cos 2B}{2} + z.\frac{1 - \cos 2C}{2} = \frac{x + y + z}{2} - \frac{1}{2}\left ( x\cos 2A + y\cos 2B + z\cos 2C \right )$.
Vậy ta cần tìm $\min$ của $x\cos 2A + y\cos 2B + z\cos 2C$ là được.

$Giờ$ $ăn$ $cơm$ $đã$ $!$ :biggrin:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 12-12-2012 - 17:05


#4 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 12-12-2012 - 13:03

Ta có $x \sin^{2}A+y\sin^{2}B+z\sin^{2}C=x.\dfrac{1-\cos2A}{2}+y.\dfrac{1-\cos2B}{2}+z.\dfrac{1-\cos2C}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}-\dfrac{1}{2}( x\cos2A+y\cos2B+z\cos2C )$.

Xét bài toán sau:
Cho $\Delta ABC$ và $x,y,z$ là các số thực không đồng thời bằng không.
Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+2xy \cos 2C+2yz \cos2A+2zx\cos 2B \ge 0$
Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}$là các vecto đơn vị
Đặt các vecto $\overrightarrow{OA_1}= \overrightarrow{e_1},\overrightarrow {OX}=x \overrightarrow {e_1}, \overrightarrow {e_1}$cùng phương với $\overrightarrow {OA}$
Đặt các vecto $\overrightarrow {OB_1}=e_2, \overrightarrow {OY}=y \overrightarrow {e_2}, \overrightarrow {e_2}$cùng phương với $\overrightarrow {OB}$
Đặt các vecto $\overrightarrow {OC_1}=e_3, \overrightarrow {OZ}=z \overrightarrow {e_3}, \overrightarrow {e_3}$cùng phương với $\overrightarrow {OC}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$x^2(\sin^22B+\cos^22B)+y^2(\sin^22A+\cos^22A)+z^2+2xy\cos (2A+2B)+2yz\cos2A+2zx\cos 2B \ge 0$
$\Leftrightarrow (x\sin 2B-y\cos2A)^2+(x\cos2B+y\cos2B+z)^2 \ge 0$
Dấu = khi $\dfrac{x}{\sin 2A}=\dfrac{y}{\sin 2B}=\dfrac{z}{\sin 2C}$

Áp dụng vào bài toán ta có:
Với $x=\sqrt{\dfrac{bc}{a}};y=\sqrt{\dfrac{ca}{b}};z=\sqrt{\dfrac{ab}{c}}$
$x\cos2A+y\cos2B+z\cos2C \ge -\dfrac{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}{abc}$
Vậy $P \le \dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}{abc}$ không đổi
Và tồn tại dấu = nên bài toán được chứng minh xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 12-12-2012 - 17:31

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 22:46

Chấm điểm:
hoangtrunghieu22101997: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#6 letansang1998

letansang1998

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 27-03-2014 - 12:11

Ta có $x \sin^{2}A+y\sin^{2}B+z\sin^{2}C=x.\dfrac{1-\cos2A}{2}+y.\dfrac{1-\cos2B}{2}+z.\dfrac{1-\cos2C}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}-\dfrac{1}{2}( x\cos2A+y\cos2B+z\cos2C )$.

Xét bài toán sau:
Cho $\Delta ABC$ và $x,y,z$ là các số thực không đồng thời bằng không.
Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+2xy \cos 2C+2yz \cos2A+2zx\cos 2B \ge 0$
Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}$là các vecto đơn vị
Đặt các vecto $\overrightarrow{OA_1}= \overrightarrow{e_1},\overrightarrow {OX}=x \overrightarrow {e_1}, \overrightarrow {e_1}$cùng phương với $\overrightarrow {OA}$
Đặt các vecto $\overrightarrow {OB_1}=e_2, \overrightarrow {OY}=y \overrightarrow {e_2}, \overrightarrow {e_2}$cùng phương với $\overrightarrow {OB}$
Đặt các vecto $\overrightarrow {OC_1}=e_3, \overrightarrow {OZ}=z \overrightarrow {e_3}, \overrightarrow {e_3}$cùng phương với $\overrightarrow {OC}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$x^2(\sin^22B+\cos^22B)+y^2(\sin^22A+\cos^22A)+z^2+2xy\cos (2A+2B)+2yz\cos2A+2zx\cos 2B \ge 0$
$\Leftrightarrow (x\sin 2B-y\cos2A)^2+(x\cos2B+y\cos2B+z)^2 \ge 0$
Dấu = khi $\dfrac{x}{\sin 2A}=\dfrac{y}{\sin 2B}=\dfrac{z}{\sin 2C}$

Áp dụng vào bài toán ta có:
Với $x=\sqrt{\dfrac{bc}{a}};y=\sqrt{\dfrac{ca}{b}};z=\sqrt{\dfrac{ab}{c}}$
$x\cos2A+y\cos2B+z\cos2C \ge -\dfrac{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}{abc}$
Vậy $P \le \dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}{abc}$ không đổi
Và tồn tại dấu = nên bài toán được chứng minh xong.



#7 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 01-08-2015 - 21:32

Ta có $x \sin^{2}A+y\sin^{2}B+z\sin^{2}C=x.\dfrac{1-\cos2A}{2}+y.\dfrac{1-\cos2B}{2}+z.\dfrac{1-\cos2C}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}-\dfrac{1}{2}( x\cos2A+y\cos2B+z\cos2C )$.....

Cho mình hỏi $a, b, c$ là các cạnh của $\triangle ABC$, cũng là các số không đổi khi các góc $A, B, C$ thay đổi hay sao? :wacko:

Còn $x, y, z$ phải là các số dương hay sao?  :closedeyes:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 01-08-2015 - 23:27


#8 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 01-08-2015 - 23:46

Anh em giúp một tay nhé :
Cho $x,y,z$ là các hằng số, $A,B,C$ là ba góc tam giác.Tìm $\max$ của biểu thức :
$P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$.

Em nghĩ là đề bài phải thêm đk là các số $x, y, z$ dương nữa :closedeyes:

Bổ sung: Xin lỗi nhưng chắc em nghĩ sai rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 02-08-2015 - 18:29


#9 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 02-08-2015 - 01:18

Đây là chứng minh bên Art Of Problem Solving

http://www.artofprob...c6h69200p590661

Toàn Tiếng Anh không, các bạn cứ Google Translate thoải mái :)

 

Bài chứng minh của darij grinberg gồm 2 phần với 2 định lý cần chứng minh.

Bạn nào không giỏi tiếng Anh thì dưới đây là bản lược dịch bài Chứng minh của darij grinberg.

 

Định lý 1: Cho $x, y, z$ là 3 số thực và $A, B, C$ là 3 góc trong 1 tam giác với $A+B+C=\pi$, ta có: $$x^2+y^2+z^2\geq 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C$$

Chứng minh: Ta sẽ ký hiệu $\measuredangle \left ( \overrightarrow{p}; \overrightarrow{q} \right )$ là góc giữa hai vector $\overrightarrow{p}$ và $\overrightarrow{q}$ (lưu ý rằng đây là 1 góc có thể lớn đến $360^{\circ}$)

Đối với bất kỳ 2 vector $\overrightarrow{p}$ và $\overrightarrow{q}$, ta có $\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}$ là tích vô hướng của 2 vector $\overrightarrow{p}$ và $\overrightarrow{q}$.

Với bất kỳ vector $\overrightarrow{p}$, ta định nghĩa $\overrightarrow{p}^2$ là tích vô hướng $\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{p}$. Với mỗi vector $\overrightarrow{p}$ thoả $\overrightarrow{p}^2=\left|\left|\overrightarrow{p}\right|\right|^2\geq 0$.

Đặt $\overrightarrow{a}$ là vector đơn vị. Gọi $\overrightarrow{b}$ cũng là một vector đơn vị sao cho $\measuredangle\left(\overrightarrow{a};\;\overrightarrow{b}\right)=180^{\circ}-C$. $\overrightarrow{c}$ là một vector đơn vị sao cho $\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)=180^{\circ}-A$. Ta có: $$\measuredangle\left(\overrightarrow{c};\;\overrightarrow{a}\right)=360^{\circ}-\measuredangle\left(\overrightarrow{a};\;\overrightarrow{b}\right)-\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)$$

(Do $A+B+C=180^{\circ}$)

Cho tất cả các vector $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ có đơn vị độ dài : $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1$. Ta có: $\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)=180^{\circ}-A$ suy ra $\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot\left|\overrightarrow{c}\right|\cdot\cos\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)=1\cdot 1\cdot\cos\left(180^{\circ}-A\right)=\cos\left(180^{\circ}-A\right)$

Tương tự, ta có: $\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=-\cos B$ và $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\cos C$. Do vậy:

$\left(x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}+z\cdot\overrightarrow{c}\right)^2$

$=\left(x\cdot\overrightarrow{a}\right)^2+\left(y\cdot\overrightarrow{b}\right)^2+\left(z\cdot\overrightarrow{c}\right)^2+2\cdot y\cdot\overrightarrow{b}\cdot z\cdot\overrightarrow{c}+2\cdot z\cdot\overrightarrow{c}\cdot x\cdot\overrightarrow{a}+2\cdot x\cdot\overrightarrow{a}\cdot y\cdot\overrightarrow{b}$

$=x^2\underbrace{\cdot\left|\overrightarrow{a}\right|^2}_{=1^2}+y^2\cdot\underbrace{\left|\overrightarrow{b}\right|^2}_{=1^2}+z^2\cdot\underbrace{\left|\overrightarrow{c}\right|^2}_{=1^2}+2yz\cdot\underbrace{\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}}_{=-\cos A}+2zx\cdot\underbrace{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}}_{=-\cos B}+2xy\cdot\underbrace{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}_{=-\cos C}$

$=x^2\cdot 1^2+y^2\cdot 1^2+z^2\cdot 1^2+2yz\cdot\left(-\cos A\right)+2zx\cdot\left(-\cos B\right)+2xy\cdot\left(-\cos C\right)$

$=x^2+y^2+z^2-2yz\cos A-2zx\cos B-2xy\cos C$

Rõ ràng ta có $\left(x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}+z\cdot\overrightarrow{c}\right)^2\geq 0$, suy ra:

$x^2+y^2+z^2-2yz\cos A-2zx\cos B-2xy\cos C\geq 0$

hay $x^2+y^2+z^2\geq 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C$

Định Lý 1 được chứng minh.

Ps: BĐT này cũng được thảo luận tại http://www.artofprob...opic.php?t=5243http://www.artofprob...pic.php?t=42509

 

Định Lý 1 tương đương với Định Lý 2 bên dưới, cũng là 1 BĐT khá hữu dụng được dùng trong các Kỳ thi toán Olympiad và trên các tạp chí toán học.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 02-08-2015 - 18:24


#10 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 02-08-2015 - 18:55

Định Lý 2: Cho $x, y, z$ là 3 số thực và $A, B, C$ là 3 góc sao cho $A+B+C$ là bội của $180^{\circ}$. Ta có: $$\left(x + y + z\right)^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$$

Ta sẽ chỉ chứng minh Định Lý 2 bằng cách sử dụng Định Lý 1.

Đầu tiên, ta có thể giả định rằng $A + B + C = 180^{\circ}$ vì BĐT $$\left(x + y + z\right)^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$$ sẽ không thay đổi khi ta thêm 1 bội của $180^{\circ}$ vào 1 trong các góc $A, B, C$ (bởi vì $\sin^{2}\left(180^{\circ} + u\right) = \sin^{2}u$ với mọi $u$), do đó, vì $A+B+C$ là bội của $180^{\circ}$ nên ta có thể thêm 1 bội số của $180^{\circ}$ vào góc $A$ để từ đó ta có $A + B + C = 180^{\circ}$.

Giờ đây, vì $A + B + C = 180^{\circ}$, ta có:

$\left(180^{\circ} - 2A\right) + \left(180^{\circ} - 2B\right) + \left(180^{\circ} - 2C\right) = 540^{\circ} - 2\cdot\left(A + B + C\right)$

$= 540^{\circ} - 2\cdot 180^{\circ} = 180^{\circ}$

Áp dụng Định Lý 1 với $180^{\circ}-2A, 180^{\circ}-2B, 180^{\circ}-2C$ thay cho $A, B, C$, ta có: 

$x^{2} + y^{2} + z^{2}\geq 2yz\cos\left(180^{\circ} - 2A\right) + 2zx\cos\left(180^{\circ} - 2B\right) + 2xy\cos\left(180^{\circ} - 2C\right)$

Do $\cos\left(180^{\circ} - 2A\right) = - \cos\left(2A\right) = - \left(1 - 2\sin^{2}A\right) = 2\sin^{2}A - 1$, tương tự $\cos\left(180^{\circ} - 2B\right) = 2\sin^{2}B - 1\cos\left(180^{\circ} - 2B\right) = 2\sin^{2}B - 1$ và $\cos\left(180^{\circ} - 2C\right) = 2\sin^{2}C - 1$, BĐT trên trở thành:

$x^{2} + y^{2} + z^{2}\geq 2yz\left(2\sin^{2}A - 1\right) + 2zx\left(2\sin^{2}B - 1\right) + 2xy\left(2\sin^{2}C - 1\right)$

$\Longleftrightarrow\ \ \ \ \ x^{2} + y^{2} + z^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right) - \left(2yz + 2zx + 2xy\right)$

$\Longleftrightarrow\ \ \ \ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} + \left(2yz + 2zx + 2xy\right)\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$

$\Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \left(x + y + z\right)^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$

 

Định Lý 2 được chứng minh.



#11 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 02-08-2015 - 19:07

Anh em giúp một tay nhé :
Cho $x,y,z$ là các hằng số, $A,B,C$ là ba góc tam giác.Tìm $\max$ của biểu thức :
$P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$.

Áp dụng Định Lý 2 đã được chứng minh vào bài toán, với $yz, zx, xy$ thay cho $x, y, z$, ta có:

$$x \sin^2 A + y \sin^2 B + z \sin^2 C \leq \dfrac{\left(yz+zx+xy\right)^2}{4xyz}$$

Bây giờ ta phải tìm liệu khi nào Đẳng thức xảy ra, nhưng em chưa biết dù nó tồn tại.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh