Chủ đề này có 2 trả lời

[longnguyen171]

$\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{sin^3x-sinx}}{sinx}cotxdx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longnguyen171: 05-02-2012 - 11:35

[duongtoi]

Biến đổi tích phân $I=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{\sqrt[3]{\sin^3x-\sin x}}{\sin x}\cot x{\rm d}x=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sqrt[3]{\frac{\sin^3x-\sin x}{\sin^3 x}}\cot x{\rm d}x=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sqrt[3]{1-\frac{1}{\sin^2 x}}\cot x{\rm d}x=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sqrt[3]{1+\cot^2x}\cot x{\rm d}x$
Đặt $\cot x=t$ suy ra ${\rm d}t=-(1+\cot^2x){\rm d}x$. Khi đó,
$I=\int_{\frac{1}{\sqrt 3}}^0 -\sqrt[3]{1+t^2}.t \frac{1}{1+t^2}{\rm d}t=\int_0^{\frac{1}{\sqrt 3}} \frac{t}{(1+t^2)^{2/3}}{\rm d}t=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{\sqrt 3}} \frac{{\rm d}(1+t^2)}{(1+t^2)^{2/3}}$.
Đến đây thì em nhìn ra kết quả rồi chứ.

[longnguyen171]

Em nghĩ là
$1-\frac{1}{sin^2x}=-cot^2x $
Nên

$I=-\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt[3]{cot^2x}cotxdx$