1 reply to this topic

[Nostalgia]

Tính tích phân: $$\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}\frac{x+2\sin^{3}x}{(1+\cos2x)}dx$$

[vietfrog]

Tính tích phân: $$\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}\frac{x+2\sin^{3}x}{(1+\cos2x)}dx$$

Bài này làm thế này:

\[\int {\frac{{x + 2{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int {\frac{{x + 2{{\sin }^3}x}}{{2{{\cos }^2}x}}dx = \int {\frac{x}{{2{{\cos }^2}x}}dx + \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} } } \]
Ta tính:

$A = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx$
Đặt : $u = x \to du = dx;dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} \to v = \tan x$

$A = x\tan x - \int {\tan xdx} $ ( tính đơn giản)

\[B = \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}xd\left( {\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} = \int {{{\tan }^2}xd\left( {\cos x} \right)} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} = \frac{{ - 1}}{{\cos x}} - \frac{{{{\cos }^2}x}}{2}\]
Đến đó coi như xong.