Cho dãy số $( a_n)_{n\geq 1}$ được xác định bởi $a_{1}=1$ và ($ a_n=\frac{2n-3}{2n}a_{n-1}$ với mọi $n\geq 2 $.Ta lập dãy số $(b_{n})_{n\geq 1}$ như sau $b_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ với $n=1,2,3... $.Chứng minh rằng dãy $(b_{n})_{n\geq 1}$có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn đó
Mình tìm ra được là thế này không biết đúng hay sai
$ a_n=e^{\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{2i-3}{2i} \right )}$(Đây là công thức tổng quát)
Sửa lại đề cho Didier
Mình cũng chỉ chứng minh được dãy $\{b_{n} \}$ hội tụ mà thôi
Dễ dàng nhận thấy $a_n>0;\forall n \in \mathbb{N^*}$.
Ta đặt $u_{n}=2na_n$,ta thiết lập được dãy số mới:$\{u_{n} \}:\left\{\begin{matrix} u_1=2 \\ u_{n}=u_{n-1}-a_{n-1};\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$
Như vậy ta có:
$$a_{n-1}=u_{n-1}-u_{n} \Rightarrow b_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\sum_{i=1}^{n}(u_{i-1}-u_{i})=u_1-u_{n+1}$$
Mà ta lại có $u_{n}>0;\forall n \in \mathbb{N^*}$ nên $b_{n}=2-u_{n+1}<2;\forall n \in \mathbb{N^*}$.
Xét hiệu:$b_{n+1}-b_{n}=a_{n+1}>0;\forall n \in \mathbb{N^*}$ nên dãy $\{b_{n} \}$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2,nên ta có dãy $\{b_{n} \}$ hội tụ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-02-2012 - 12:46