Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 phamvanha92

phamvanha92

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-02-2012 - 22:33

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 14-02-2012 - 00:00

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?

Giải như sau:
Gọi số đó là $\overline{A2008} \rightarrow A.10^4+1 \equiv 0 \pmod{2007} \rightarrow 1972A \equiv 2006 \pmod{2007}$
Giờ ta đi tìm số $k$ sao cho $1972|2006+2007k$ với $k<2007$
Thấy $1972=4.17.23 \rightarrow k \equiv 2 \pmod{4}$ <1>
Thấy $17|2006 \rightarrow 17|k$ <*>
Từ <1> và <*> suy ra $k=68q+34$ <2>
Lại thấy $2006 \equiv 5 \pmod{29} \rightarrow 2007k \equiv 24 \pmod{29} \rightarrow 6k \equiv 24 \pmod{29} \rightarrow k \equiv 4 \pmod{29}$ <3>
Từ <2> đặt $q=29t+r$ ($r<23$)
Từ <3> suy ra $68q+34 \equiv 3 \pmod{29} \rightarrow 1972t+68r+34 \equiv 4 \pmod{29} \rightarrow 29|68r+30 \rightarrow 23|10r+1 \rightarrow r=26$ (chú ý $r<29$)
Tóm lại $q=29t+26 \rightarrow k=68q+34=1564t+1802$
Thấy $k=1802$ bé nhất (cho $t=0$)
Trở lại bài toán $1972a\equiv 2006 \pmod{2007} \rightarrow 1972A \equiv 2006+2007.1802 \pmod{2007} \rightarrow A \equiv 1835 \pmod{2007}$
Để $\overline{A2008}$ min chọn $A=1835$
Do đó số cần tìm là $18352008$
Thử lại $18352008=1007.9144$ đúng
Đáp số $\boxed{18352008}$

P/S đừng thấy ngắn mà tưởng dễ nhé để có những con số và phương pháp tìm $k$ như trên là quá trình suy nghĩ dài dài! :icon6: :closedeyes: :namtay :ukliam2:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-02-2012 - 00:01


#3 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 14-02-2012 - 06:06

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?

Bài này vùa thj CAsio Vĩnh Phúc hôm nọ nhg thay 2008 , 2007 bằng 2012 , 2011




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh