Lớp 9 mà cho đề khó quá nhỉ. Ko biết có học qua BĐT Schur chưa ? Có 1 cách giải bằng p,q,r và Schur
___
Em nghĩ bài này có thể dùng Chebishev được.
Sau 1 ngày tìm tòi thì mình ra bài này rồi đây, các bạn xem lời giải nhé!!!!!!!!!
Bài này mình chỉ dùng Cô-Si và Cô-si-Schwarz thôi nhé
BĐT sau:
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$ - Cauchy Schwarz in Engel Form$\frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$
Ta có:
$\frac{ab}{1-ab} = \frac{2ab}{2(a^2+b^2+c^2)-2ab} \le \frac{2ab}{(2a^2+2b^2+2c^2)-(a^2+b^2)}$
$\frac{ab}{1-ab} \le \frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2}$
$\frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2} = \frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$
$\frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$
$\frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})$ (1)
Tương tự, ta có:
$\frac{bc}{1-bc} \le \frac{1}{2}(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2})$ (2)
$\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2})$ (3)
Cộng 3 BĐT (1), (2), (3) vào, ta có:
$\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}$
$(\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca})-(\frac{ab-1}{ab-1}+\frac{bc-1}{bc-1}+\frac{ca-1}{ca-1})$
$=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} - 3 \le \frac{3}{2}$
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$ (Điều phải chứng minh)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$a = b = c, a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Hoặc $a = b = c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 17-02-2012 - 03:50