Đến nội dung

Hình ảnh

$x+y$ có chính phương không?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
hoang phuc nguyen

hoang phuc nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
Cho x,y,zthuoc N, nguyên tố cùng nhau từng đôi một thỏa mãn 1/x+1/y=1/z. Hỏi x+y có phải là số chính phương ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang phuc nguyen: 15-02-2012 - 22:24


#2
ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Cho x,y,zthuoc N, nguyên tố cùng nhau từng đôi một thỏa mãn 1/x+1/y=1/z. Hỏi x+y có phải là số chính phương ko?


Mình xin giải bài này nhé: :)

Ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{z}$
$xz+yz = xy$
$(x-z)(y-z) = z^2$

Đặt $z^2 \vdots d^2 \Rightarrow z \vdots d$

Do đó: $(x-z)(y-z) \vdots d^2 \Rightarrow (x-z) \vdots d$ mà $z \vdots d$ nên $x \vdots d$. Tương tự, $y \vdots d$ Mà $(x,y) = 1$. Suy ra $d=1$.

Vậy nếu $x-z = a^2, y-z = b^2 \Rightarrow a^2b^2=z^2 \Rightarrow ab = z$
$\Rightarrow x+y = (x-z)+(y-z)+2z = a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
Từ đó, ta kết luận x+y là số chính phương :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 21-02-2012 - 22:29


#3
hoang phuc nguyen

hoang phuc nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
cho minh hoi la tao sao (x-z) chia het cho d

#4
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

Mình xin giải bài này nhé: :)

Ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{z}$
$xz+yz = xy$
$(x-z)(y-z) = z^2$

Đặt $z^2 \vdots d^2 \Rightarrow z \vdots d$

Do đó: $(x-z)(y-z) \vdots d^2 \Rightarrow (x-z) \vdots d$ mà $z \vdots d$ nên $x \vdots d$. Tương tự, $y \vdots d$ Mà $(x,y) = 1$. Suy ra $d=1$.

Vậy nếu $x-z = a^2, y-z = b^2 \Rightarrow a^2b^2=x^2 \Rightarrow ab = x$
$\Rightarrow x+y = (x-z)+(y-z)+2z = a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
Từ đó, ta kết luận x+y là số chính phương :)

$ab=z$ chứ sao = x
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#5
hoang phuc nguyen

hoang phuc nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
tại sao (x-z)(y-z) chia hết d^2 thì (x-z) chia hết d Mong mọi người giải thích rõ cho mình hiểu

MOD: Vui lòng gõ tiếng Việt có dấu. Còn tái phạm sẽ xóa không báo trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang phuc nguyen: 16-02-2012 - 13:59





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh