Chủ đề này có 4 trả lời

[ChunChun]

Bài này giải phức tạp quá, mình post lên đây mọi người cùng tham khảo và giúp mình với.
Hai người chơi cờ thỏa thuận với nhau là ai thắng trước một số ván nhất định thì sẽ thắng cuộc. Trận đấu bị gián đoạn khi người thứ I còn thiếu m ván thắng, người II thiếu n ván thắng. Vậy phải phân chia tiền đặt như thế nào là hợp lý? Biết rằng xác suất thắng mỗi ván của mỗi người đều là 0,5

[cukhoaiha]

bài này hình như xuất hiện trong chùm bài những nghịch lý về xác suất trong quyển tuyển tập những chuyên đề toán học và tuổi trẻ quyển 1 thì phải. bạn tìm đọc xem

[Nobodyv3]

Bài này cũng thú vị nhỉ...

WLOG, giả sử $m<n$ nếu trận đấu không bị gián đoạn thì người thứ II phải thắng n ván với XS $\frac {1}{2^n}$ suy ra người thứ I thắng cuộc với XS $\frac {2^n-1}{2^n}$. Do đó tiền thưởng được chia theo tỉ lệ $2^n-1:1$ nghiêng về người thứ I đang có lợi thế là hợp lý nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 05-07-2023 - 22:20

[chanhquocnghiem]

Bài này giải phức tạp quá, mình post lên đây mọi người cùng tham khảo và giúp mình với.
Hai người chơi cờ thỏa thuận với nhau là ai thắng trước một số ván nhất định thì sẽ thắng cuộc. Trận đấu bị gián đoạn khi người thứ I còn thiếu m ván thắng, người II thiếu n ván thắng. Vậy phải phân chia tiền đặt như thế nào là hợp lý? Biết rằng xác suất thắng mỗi ván của mỗi người đều là 0,5

Nếu chơi tiếp cho đến chung cuộc thì, xác suất người thứ nhất thắng là

$p_1=\frac{1}{2^m}+\frac{C_m^{m-1}}{2^{m+1}}+\frac{C_{m+1}^{m-1}}{2^{m+2}}+\frac{C_{m+2}^{m-1}}{2^{m+3}}+...+\frac{C_{m+n-2}^{m-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{M}{2^{m+n-1}}$

trong đó $M=2^{n-1}+2^{n-2}C_m^{m-1}+2^{n-3}C_{m+1}^{m-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{m-1}=\sum_{k=0}^{n-1}2^kC_{m+n-k-2}^{m-1}$

Và xác suất người thứ hai thắng là

$p_2=\frac{1}{2^n}+\frac{C_n^{n-1}}{2^{n+1}}+\frac{C_{n+1}^{n-1}}{2^{n+2}}+\frac{C_{n+2}^{n-1}}{2^{n+3}}+...+\frac{C_{n+m-2}^{n-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{N}{2^{m+n-1}}$

trong đó $N=2^{m-1}+2^{m-2}C_n^{n-1}+2^{m-3}C_{n+1}^{n-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{n-1}=\sum_{k=0}^{m-1}2^kC_{m+n-k-2}^{n-1}$

Vậy tiền sẽ được chia cho người thứ nhất và người thứ hai theo tỷ lệ $M:N$, với $M$ và $N$ xác định như trên.
 

[Nobodyv3]

Nếu chơi tiếp cho đến chung cuộc thì, xác suất người thứ nhất thắng là
$p_1=\frac{1}{2^m}+\frac{C_m^{m-1}}{2^{m+1}}+\frac{C_{m+1}^{m-1}}{2^{m+2}}+\frac{C_{m+2}^{m-1}}{2^{m+3}}+...+\frac{C_{m+n-2}^{m-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{M}{2^{m+n-1}}$
trong đó $M=2^{n-1}+2^{n-2}C_m^{m-1}+2^{n-3}C_{m+1}^{m-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{m-1}=\sum_{k=0}^{n-1}2^kC_{m+n-k-2}^{m-1}$
Và xác suất người thứ hai thắng là
$p_2=\frac{1}{2^n}+\frac{C_n^{n-1}}{2^{n+1}}+\frac{C_{n+1}^{n-1}}{2^{n+2}}+\frac{C_{n+2}^{n-1}}{2^{n+3}}+...+\frac{C_{n+m-2}^{n-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{N}{2^{m+n-1}}$
trong đó $N=2^{m-1}+2^{m-2}C_n^{n-1}+2^{m-3}C_{n+1}^{n-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{n-1}=\sum_{k=0}^{m-1}2^kC_{m+n-k-2}^{n-1}$
Vậy tiền sẽ được chia cho người thứ nhất và người thứ hai theo tỷ lệ $M:N$, với $M$ và $N$ xác định như trên.

Quá tinh tế!