$\left\{\begin{matrix} & x^{3}(2+3y)=8 & \\ & (y^{3}-2)x=6& \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} & x^{3}(2+3y)=8 & \\ & (y^{3}-2)x=6& \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi hoang45, 17-02-2012 - 12:34
#2
Đã gửi 17-02-2012 - 13:11
$\left\{\begin{matrix} & x^{3}(2+3y)=8 & \\ & (y^{3}-2)x=6& \end{matrix}\right.$
Do $x \ne 0$ nên hệ phương trình tương đương với: $$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{8}{{{x^3}}} - 3y = 2\\
{y^3} - 3\frac{2}{x} = 2
\end{array} \right.$$
Đặt $t = \frac{2}{x}$ ta được: $$\left\{ \begin{array}{l}
{t^3} - 3y = 2\\
{y^3} - 3t = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {t - y} \right)\left( {{t^2} + {y^2} + ty + 3} \right) = 0$$
Do ${t^2} + {y^2} + ty + 3 \ne 0$ nên $t=y$. Vậy ta có ${y^3} - 3y = 2$.
Xét $y = 2\cos \alpha ,\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$, ta được: $$8{\cos ^3}\alpha - 6\cos \alpha = 2 \Leftrightarrow c{\rm{os}}3\alpha = 1$$
Suy ra $\alpha $, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
- Phạm Hữu Bảo Chung, Tham Lang, L Lawliet và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 17-02-2012 - 15:51
Bạn Xusinst giải phương trình cuối hơi rườm rà. Mình xin giải như thế này nha
Do x=0 không là nghiệm của hệ nên hệ phương trình tương đương với
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{8}{{{x^3}}} - 3y = 2 \\
{y^3} - 3.\frac{2}{x} = 2 \\
\end{array} \right.\]
Đặt \[u = \frac{2}{x}\] ta được phương trình tương đương sau
\[\left\{ \begin{array}{l}
{u^3} - 3y = 2 \\
{y^3} - 3u = 2 \\
\end{array} \right.\]
Từ vế theo vế ta được:
\[\begin{array}{l}
{u^3} - {y^3} + 3\left( {u - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - y} \right)\left( {{u^2} + uy + {y^2} + 3} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {u - y} \right)\left( {{u^2} + uy + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {u - y} \right)\left[ {{{\left( {u + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3} \right] = 0 \\
\end{array}\]
Rõ ràng \[{{{\left( {u + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3 \ne 0}\]
Do đó \[u - y = 0\]
\[ \Rightarrow {u^3} - 3u - 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = - 1 \Rightarrow y = - 1 \\
u = 2 \Rightarrow y = 2 \\
\end{array} \right.\]
* Với u=-1
\[\frac{2}{x} = - 1 \Leftrightarrow x = - 2 \Rightarrow y = - 1\]
* Với u=2
\[\frac{2}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2\]
Vậy nghiệm hệ phương trình là \[\left( { - 2, - 1} \right);\left( {1,2} \right)\]
Do x=0 không là nghiệm của hệ nên hệ phương trình tương đương với
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{8}{{{x^3}}} - 3y = 2 \\
{y^3} - 3.\frac{2}{x} = 2 \\
\end{array} \right.\]
Đặt \[u = \frac{2}{x}\] ta được phương trình tương đương sau
\[\left\{ \begin{array}{l}
{u^3} - 3y = 2 \\
{y^3} - 3u = 2 \\
\end{array} \right.\]
Từ vế theo vế ta được:
\[\begin{array}{l}
{u^3} - {y^3} + 3\left( {u - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - y} \right)\left( {{u^2} + uy + {y^2} + 3} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {u - y} \right)\left( {{u^2} + uy + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {u - y} \right)\left[ {{{\left( {u + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3} \right] = 0 \\
\end{array}\]
Rõ ràng \[{{{\left( {u + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3 \ne 0}\]
Do đó \[u - y = 0\]
\[ \Rightarrow {u^3} - 3u - 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = - 1 \Rightarrow y = - 1 \\
u = 2 \Rightarrow y = 2 \\
\end{array} \right.\]
* Với u=-1
\[\frac{2}{x} = - 1 \Leftrightarrow x = - 2 \Rightarrow y = - 1\]
* Với u=2
\[\frac{2}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2\]
Vậy nghiệm hệ phương trình là \[\left( { - 2, - 1} \right);\left( {1,2} \right)\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantho302: 17-02-2012 - 16:28
- Phạm Hữu Bảo Chung, Tham Lang, T M và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 17-02-2012 - 18:47
Bạn Xusinst giải phương trình cuối hơi rườm rà. Mình xin giải như thế này nha
Đó chỉ là một cách thôi mà bạn. Một bài toán có thể có nhiều cách giải mà
Hoan nghênh lời giải của bạn.
#5
Đã gửi 23-08-2012 - 19:14
Nói như thế thì vantho302 là người làm dài nhất !Bạn Xusinst giải phương trình cuối hơi rườm rà. Mình xin giải như thế này nha
__________________
Có $(x^3(2+3y)-8)+x^2((y^3-2)x-6)=0$
$\Leftrightarrow (xy-2)((xy+1)^2+3x^2+3)=0$
$\Leftrightarrow xy=2$
$\Leftrightarrow y=\frac{2}{x}$
$\left\{\begin{matrix} & x^{3}(2+3y)=8 & \\ & (y^{3}-2)x=6& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 2(x-1)(x+2)^2=0 $
$\Leftrightarrow (x,y)=(-2,-1);(1,2)$
- no matter what và Kaitou Kid 1412 thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#6
Đã gửi 09-10-2016 - 10:59
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh