Đến nội dung

Hình ảnh

a,b,c thõa mãn a,b,c>1.a+b+c=abc.Tính GTNN của P=$\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
mimoza884010

mimoza884010

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
Cho a,b,c thõa mãn a,b,c>1.a+b+c=abc.
Tính GTNN của
P=$\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$

#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Cho a,b,c thõa mãn a,b,c>1.a+b+c=abc.
Tính GTNN của
P=$\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$

Giả thuyết:
$$\iff \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$$
Ta có:
$$P=\sum\left[\frac{(b-1)+(a-1)}{b^2} \right]-\sum\frac{1}{a}=\sum\left[(a-1)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \right) \right]-\sum\frac{1}{a} \overset{AM-GM}{\ge} 2\sum\frac{a-1}{ab}-\sum\frac{1}{a}=\sum\frac{1}{a}-2$$
Lại có:
$$\left(\sum\frac{1}{a} \right)^2 \ge 3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \right)=3$$
Suy ra:$P \ge \sqrt{3}-2.P_{\min}=\sqrt{3}-2 \iff a=b=c=\sqrt{3}.$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Tương tự: https://diendantoanh...2z2geq-sqrt3-2/


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh