Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi HSG khối 10 THPT chuyên ĐHSPHN vòng 1 ngày 19/02/2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 tungc3sp

tungc3sp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-02-2012 - 17:45

http://dethi.violet....ntry_id/7075168
cac ban vao duong link nay de xem de

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungc3sp: 21-02-2012 - 09:34

tungk45csp

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-02-2012 - 15:12

ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN KHỐI 10 THPT CHUYÊN ĐHSPHN


Năm học: 2011 - 2012

Ngày thi thứ 1: 19 - 02 - 2012

Thời gian làm bài: 180 phút

----------------------


Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
21x + 3y + 48{x^2} - 48{y^2} + 28xy = 69
\end{array} \right.$$
Bài 2: Cho $a_1, a_2,..., a_n$ là $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
$$\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{a_1+a_2+...+a_n} \geq \frac{1^2+2^2+...+n^2}{1+2+...+n}.$$
Bài 3: Cho tam giác $ABC, I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $AB, AC$ tại $C_1, B_1; C_2,B_2$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $AB_2=CB_1; AC_2=BC_1. B_3,C_3$ lần lượt là trung điểm của $BB_2, CC_2$. Chứng minh: $AI$ vuông góc với $ B_3C_3$.

Bài 4: Cho 2010 số 0, 2011 số 1, 2012 số 2. Thực hiện thuật toán sau: Mỗi lần cho xóa đi hai số khác nhau và ghi vào bảng một trong ba số 0; 1; 2 sao cho số được ghi khác với hai số vừa bị xóa. Hỏi sau một hữu hạn bước ta được số cuối cùng còn lại là số nào?




----------------HẾT----------------


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 21-02-2012 - 16:58


#3 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 30-11-2013 - 21:40

Bài 4: Cho 2010 số 0, 2011 số 1, 2012 số 2. Thực hiện thuật toán sau: Mỗi lần cho xóa đi hai số khác nhau và ghi vào bảng một trong ba số 0; 1; 2 sao cho số được ghi khác với hai số vừa bị xóa. Hỏi sau một hữu hạn bước ta được số cuối cùng còn lại là số nào?

 

Xét $A$ là tổng của các số viết trên bảng

Dễ dàng thấy rằng sau mỗi lần thực hiện thuật toán thì tính chẵn lẻ của $A$ thay đổi

Ban đầu $A$ là số lẻ

Sau $6032$ lần thực hiện thuật toán, $A$ là số lẻ

Vậy số cuối cùng trên bảng là số $1$



#4 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 30-11-2013 - 22:00

Bài 2: Cho $a_1, a_2,..., a_n$ là $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

$$\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{a_1+a_2+...+a_n} \geq \frac{1^2+2^2+...+n^2}{1+2+...+n}.$$

Ta CM bất đẳng thức bằng quy nạp

Dễ thấy bất đẳng thức đúng với $n=1$

Giả bất đẳng thức đúng với $n=k$

Ta sẽ CM bất đẳng thức đúng với $n=k+1$

WLOG, giả sử $a_1<a_2<...<a_{n+1}$

Ta có:

$a_1^2+...+a_n^2\geq \frac{2n+1}{3}\left ( a_1+...+a_n \right )$

Do đó, ta chỉ cần CM:

$\frac{2n+1}{3}\left ( a_1+...+a_n \right )+a_{n+1}^{2}\geq \frac{2n+3}{3}\left ( a_1+..+a_n+a_{n+1} \right )$

$\Leftrightarrow 3a_{n+1}^{2}\geq 2\left ( a_1+...+a_{n} \right )+\left ( 2n+3 \right )a_{n+1}$

Vì $a_1,...,a_{n+1}$ là các số tự nhiên phân biệt nên:

$a_{n+1}-a_i \geq n+1-i$

Suy ra $\left ( a_1+...+a_n \right )\leq na_{n+1}-\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$

$3a_{n+1}^2-\left ( 4n+3 \right )a_{n+1}+n\left ( n+1 \right ) \geq 0$

$\Leftrightarrow \left ( a_{n+1}-n-1 \right )\left ( 3a_{n+1}-n \right )\geq 0$ (đúng)

Theo nguyên lý quy nạp, suy ra đpcm



#5 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-12-2013 - 12:30

Hình như năm thi là 2011 mới phải.

Câu hình học thì cứ Carnot là ra thôi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh