Chủ đề này có 7 trả lời

[superstar9xx95]

tính lim($1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$)

[Crystal]

tính lim($1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$)

Ta có biểu thức lấy giới hạn chính là hàm Zeta cấp 2.

$$ \gamma(2)=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...........+\dfrac{1}{n^2}+.......=\dfrac{\pi^2}{6}$$
Do đó: $$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}\right )=\frac{\pi ^{2}}{6}$$
Bạn xem thêm về hàm Zeta ở đây: Hàm Zeta

[superstar9xx95]

bạn có thể chứng minh bài này bằng định lí kẹp không...thầy mih gợi ý là dùng định lí kẹp nhưng mình chỉ mới chứng minh nó lớn hơn 2+$\frac{1}{n}$

[Crystal]

bạn có thể chứng minh bài này bằng định lí kẹp không...thầy mih gợi ý là dùng định lí kẹp nhưng mình chỉ mới chứng minh nó lớn hơn 2+$\frac{1}{n}$

Bạn có thể chứng minh biểu thức lấy giới hạn nhỏ hơn $2 - \frac{1}{n}$ như sau:

Ta có: $$1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}}$$
$$ = 1 + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) = 2 - \frac{1}{n}$$
Kết hợp với điều bạn chứng minh được, dùng định lí kẹp, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 2$

Nhận xét: Nếu làm theo cách trên thì kết quả thiếu chính xác so với cách sử dụng hàm $Zeta$ để chứng minh.

[T*genie*]

Anh chưa đọc chi tiết bài của các em đã thấy vô lý rồi

- Thứ nhất, làm sao mà vừa chứng minh chuỗi này vừa lớn hơn $2+\frac{1}{n}$ vừa nhỏ hơn $2-\frac{1}{n}$ được vậy, thế chẳng hóa $\frac{1}{n} < 0$ à ?
- Thứ hai là dù làm bất cứ cách nào, giới hạn bài này phải ra $\frac{\pi^2}{6}$, làm sao có khái niệm giới hạn thiếu chính xác như Thành nói được.

[T*genie*]

Quay lại bài toán trên, cách "đơn giản" nhất là dùng Zeta như Thành đã làm ở trên, cũng có một cách khác dùng kẹp như thầy em superstar9xx95 đã gợi ý. Tuy nhiên cách này tương đối cồng kềnh. Ngày trước anh đã từng học thì họ cho dưới dạng một chuỗi các bài toán rồi mới suy ra được kết quả. Anh không có nhiều thời gian lắm để trình bày nhưng gợi ý thế này :

- Đầu tiên chứng minh $\forall x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \ \sin x < x < \tan x$ rồi suy ra $\cot^2(x) < \frac{1}{x^2} < \frac{1}{\sin^2 x} \ \forall x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$.
- Tính các tổng $\sum_{k=1}^{n}\cot^2\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)$ và $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sin^2\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)}$

Đến đây thì em sẽ kẹp được chuỗi cần tìm. Nói chung nó rất dài dòng và nếu muốn dùng cách kẹp, khi cho đề sẽ phải cho từng bước, không thầy giáo nào nhảy ngay vào câu tính giới hạn thế này cả hóa bằng đánh đố.

[Crystal]

Anh chưa đọc chi tiết bài của các em đã thấy vô lý rồi

- Thứ nhất, làm sao mà vừa chứng minh chuỗi này vừa lớn hơn $2+\frac{1}{n}$ vừa nhỏ hơn $2-\frac{1}{n}$ được vậy, thế chẳng hóa $\frac{1}{n} < 0$ à ?
- Thứ hai là dù làm bất cứ cách nào, giới hạn bài này phải ra $\frac{\pi^2}{6}$, làm sao có khái niệm giới hạn thiếu chính xác như Thành nói được.

Dạ vâng ạ. Thế mà em không để ý thấy. Dạo này lại có vấn đề rồi.

Cảm ơn anh Thạch đã chỉ ra chỗ sai ạ.

[superstar9xx95]

dạ cảm ơn các anh và thầy