Đề thi chọn HSG khối 10, trường THPT chuyên ĐHSP,vòng 2, ngay21/2
#1
Đã gửi 21-02-2012 - 18:16
http://dethi.violet....ntry_id/7078511
- windkiss và yeutoan2001 thích
#2
Đã gửi 21-02-2012 - 18:47
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10
NĂM HỌC 2011 - 2012
NGÀY THỨ 2
Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.
Bài 3. Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.
Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 09-11-2017 - 23:01
- tranquocluat_ht, windkiss, Mai Duc Khai và 6 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 22-02-2012 - 22:06
tới đây xét hàm số
$f(t)= \sqrt{-z^2+6z+3}- \dfrac{3 \sqrt{2}}{4} z $
rồi dÙng đạo hàm => $f(t)>= \dfrac{3 \sqrt{2}}{4}$
=> $f(a)+f(b)+f©>= \dfrac{9 \sqrt{2}{4}
chuyen sang cong lai la xong.
MOD : Lần sau vui lòng gõ tiếng Việt có dấu toàn bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 22-02-2012 - 22:13
- datcoi961999 yêu thích
#4
Đã gửi 22-11-2012 - 00:09
Đặt $P$=$\sqrt{3-xy}$ + $\sqrt{3-yz}$ + $\sqrt{3-zx}$
Theo BĐT AG-MG thì
$xy+yz+zx$ $\leq$ $\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$ + $\frac{y^{2}+z^{2}}{2}$ + $\frac{z^{2}+x^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ $3\left ( xy+yz+zx \right )$ $\leq$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ + $2\left ( xy+yz+zx \right )$ = $\left ( x+y+z \right )^{2}$= $9$
$\Rightarrow$ $xy+yz+zx$ $\leq$ $3$
Mặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:
$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$
$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 22-11-2012 - 00:35
"The Universe appears to be flawed.
If things exist because they ought to,
why are they not much better than they are?"
#5
Đã gửi 22-11-2012 - 10:42
Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhéMặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:
$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$
$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$
- khong la gi ca yêu thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#6
Đã gửi 22-11-2012 - 23:40
Ọc sai thiệt. Cám ơn bạn nhé để mình xem lại...Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhé
Hy vọng bài 4 ko sai:
Gọi $A$, $B$ lần lượt là tập hợp các số ghi trên ô màu trắng và các số ghi trên ô màu đen.
$A$ $\cup$ $B$ = $\left \{1..64 \right \}$
$A$ $\cap$ $B$ = $\varnothing$
$\left | A \right |$ = $\left | B \right |$ = $ 32$
Không giảm tổng quát ta cho số $1$ thuộc tập $A$.
Giả sử rằng không tồn tại một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.
Khi đó thì $\forall x \in B$ : $\left | x - 1 \right | < 31$
$\Rightarrow$ $x < 32$.
Do đó ta phải có $B$ =$\left \{ 2,3,...,31 \right \}$ $\Rightarrow$ $\left | B \right |$ = $30$ (Vô lý).
Vậy nên tồn tại ít nhất một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.
- luuvanthai yêu thích
"The Universe appears to be flawed.
If things exist because they ought to,
why are they not much better than they are?"
#7
Đã gửi 02-03-2013 - 19:57
#8
Đã gửi 01-09-2015 - 17:48
cho em xin lời giải câu 2 với
#9
Đã gửi 06-10-2015 - 20:59
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10
NĂM HỌC 2011 - 2012
NGÀY THỨ 2
Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.
Bài 3. Cho $\bigtriangle ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.
Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$
Ai giải bất đẳng thức đi. Làm UTC mà không ra ._.
#10
Đã gửi 28-08-2018 - 23:08
Bài 1: Do vài trò đối xứng giữa 3 biến WLOG ta giả sử $x \geqslant y \geqslant z$
BĐT đã cho tương đương với: $A=\sum \frac{3-xy}{\sqrt{2(3-xy)}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{6-2xy}{5-xy}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1-xy}{5-xy}\geq 0$
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có $A\geq (3-\sum xy)(\sum \frac{1}{5-xy})\geq 0$ do $\sum xy\leqslant \frac{(\sum x)^2}{3}=3$
Vậy ta có BĐT cần CM, dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-08-2018 - 23:14
- eLcouQTai và Francis Berdano thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh