Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn HSG khối 10, trường THPT chuyên ĐHSP,vòng 2, ngay21/2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 tungc3sp

tungc3sp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-02-2012 - 18:16

Chieu nay minh vua thi xong, khong lam duoc bai. Cac ban vao link nay de xem de nay:
http://dethi.violet....ntry_id/7078511
tungk45csp

#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 21-02-2012 - 18:47

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10

NĂM HỌC 2011 - 2012

NGÀY THỨ 2


Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

Bài 3. Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 09-11-2017 - 23:01

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#3 Dont Cry

Dont Cry

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-02-2012 - 22:06

Mình dÙng pp hàm số hơi dài 1 chút. $\sqrt{3-xy}\geq \sqrt{3- \dfrac{(z-3)^2}{4}} \geq ( \dfrac{1}{2} \sqrt{-z^2+6z+3}$
tới đây xét hàm số
$f(t)= \sqrt{-z^2+6z+3}- \dfrac{3 \sqrt{2}}{4} z $
rồi dÙng đạo hàm => $f(t)>= \dfrac{3 \sqrt{2}}{4}$
=> $f(a)+f(b)+f©>= \dfrac{9 \sqrt{2}{4}
chuyen sang cong lai la xong.

MOD : Lần sau vui lòng gõ tiếng Việt có dấu toàn bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 22-02-2012 - 22:13


#4 khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh

Đã gửi 22-11-2012 - 00:09

Bài 1:

Đặt $P$=$\sqrt{3-xy}$ + $\sqrt{3-yz}$ + $\sqrt{3-zx}$

Theo BĐT AG-MG thì

$xy+yz+zx$ $\leq$ $\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$ + $\frac{y^{2}+z^{2}}{2}$ + $\frac{z^{2}+x^{2}}{2}$

$\Rightarrow$ $3\left ( xy+yz+zx \right )$ $\leq$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ + $2\left ( xy+yz+zx \right )$ = $\left ( x+y+z \right )^{2}$= $9$

$\Rightarrow$ $xy+yz+zx$ $\leq$ $3$

Mặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:

$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$

$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 22-11-2012 - 00:35

"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#5 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 22-11-2012 - 10:42

Mặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:

$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$

$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$

Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhé

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#6 khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh

Đã gửi 22-11-2012 - 23:40

Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhé

Ọc sai thiệt. Cám ơn bạn nhé để mình xem lại... :(


Hy vọng bài 4 ko sai:

Gọi $A$, $B$ lần lượt là tập hợp các số ghi trên ô màu trắng và các số ghi trên ô màu đen.
$A$ $\cup$ $B$ = $\left \{1..64 \right \}$
$A$ $\cap$ $B$ = $\varnothing$
$\left | A \right |$ = $\left | B \right |$ = $ 32$

Không giảm tổng quát ta cho số $1$ thuộc tập $A$.
Giả sử rằng không tồn tại một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.
Khi đó thì $\forall x \in B$ : $\left | x - 1 \right | < 31$
$\Rightarrow$ $x < 32$.
Do đó ta phải có $B$ =$\left \{ 2,3,...,31 \right \}$ $\Rightarrow$ $\left | B \right |$ = $30$ (Vô lý).

Vậy nên tồn tại ít nhất một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.

"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#7 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 02-03-2013 - 19:57

bị nguợc dấu rôì:P^2 phải nhỏ hơn

#8 Binzthepoet

Binzthepoet

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 01-09-2015 - 17:48

cho em xin lời giải câu 2 với



#9 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-10-2015 - 20:59

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10

NĂM HỌC 2011 - 2012

NGÀY THỨ 2


Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

Bài 3. Cho $\bigtriangle ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$

 

Ai giải bất đẳng thức đi. Làm UTC mà không ra ._.



#10 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 28-08-2018 - 23:08

Bài 1: Do vài trò đối xứng giữa 3 biến WLOG ta giả sử $x \geqslant y \geqslant z$

BĐT đã cho tương đương với: $A=\sum \frac{3-xy}{\sqrt{2(3-xy)}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{6-2xy}{5-xy}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1-xy}{5-xy}\geq 0$

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có $A\geq (3-\sum xy)(\sum \frac{1}{5-xy})\geq 0$ do $\sum xy\leqslant \frac{(\sum x)^2}{3}=3$

Vậy ta có BĐT cần CM, dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-08-2018 - 23:14





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh