
Đề thi chọn HSG khối 10, trường THPT chuyên ĐHSP,vòng 2, ngay21/2
#1
Đã gửi 21-02-2012 - 18:16
http://dethi.violet....ntry_id/7078511
- windkiss và yeutoan2001 thích
#2
Đã gửi 21-02-2012 - 18:47
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10
NĂM HỌC 2011 - 2012
NGÀY THỨ 2
Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.
Bài 3. Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.
Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 09-11-2017 - 23:01
- tranquocluat_ht, windkiss, Mai Duc Khai và 6 người khác yêu thích
“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.
#3
Đã gửi 22-02-2012 - 22:06
tới đây xét hàm số
$f(t)= \sqrt{-z^2+6z+3}- \dfrac{3 \sqrt{2}}{4} z $
rồi dÙng đạo hàm => $f(t)>= \dfrac{3 \sqrt{2}}{4}$
=> $f(a)+f(b)+f©>= \dfrac{9 \sqrt{2}{4}
chuyen sang cong lai la xong.
MOD : Lần sau vui lòng gõ tiếng Việt có dấu toàn bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 22-02-2012 - 22:13
- datcoi961999 yêu thích
#4
Đã gửi 22-11-2012 - 00:09
Đặt $P$=$\sqrt{3-xy}$ + $\sqrt{3-yz}$ + $\sqrt{3-zx}$
Theo BĐT AG-MG thì
$xy+yz+zx$ $\leq$ $\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$ + $\frac{y^{2}+z^{2}}{2}$ + $\frac{z^{2}+x^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ $3\left ( xy+yz+zx \right )$ $\leq$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ + $2\left ( xy+yz+zx \right )$ = $\left ( x+y+z \right )^{2}$= $9$
$\Rightarrow$ $xy+yz+zx$ $\leq$ $3$
Mặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:
$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$
$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 22-11-2012 - 00:35
"The Universe appears to be flawed.
If things exist because they ought to,
why are they not much better than they are?"
#5
Đã gửi 22-11-2012 - 10:42
Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhéMặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:
$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$
$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$
- khong la gi ca yêu thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#6
Đã gửi 22-11-2012 - 23:40
Ọc sai thiệt. Cám ơn bạn nhé để mình xem lại...Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhé

Hy vọng bài 4 ko sai:
Gọi $A$, $B$ lần lượt là tập hợp các số ghi trên ô màu trắng và các số ghi trên ô màu đen.
$A$ $\cup$ $B$ = $\left \{1..64 \right \}$
$A$ $\cap$ $B$ = $\varnothing$
$\left | A \right |$ = $\left | B \right |$ = $ 32$
Không giảm tổng quát ta cho số $1$ thuộc tập $A$.
Giả sử rằng không tồn tại một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.
Khi đó thì $\forall x \in B$ : $\left | x - 1 \right | < 31$
$\Rightarrow$ $x < 32$.
Do đó ta phải có $B$ =$\left \{ 2,3,...,31 \right \}$ $\Rightarrow$ $\left | B \right |$ = $30$ (Vô lý).
Vậy nên tồn tại ít nhất một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.
- luuvanthai yêu thích
"The Universe appears to be flawed.
If things exist because they ought to,
why are they not much better than they are?"
#7
Đã gửi 02-03-2013 - 19:57

#8
Đã gửi 01-09-2015 - 17:48
cho em xin lời giải câu 2 với
#9
Đã gửi 06-10-2015 - 20:59
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10
NĂM HỌC 2011 - 2012
NGÀY THỨ 2
Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.
Bài 3. Cho $\bigtriangle ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.
Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$
Ai giải bất đẳng thức đi. Làm UTC mà không ra ._.
#10
Đã gửi 28-08-2018 - 23:08
Bài 1: Do vài trò đối xứng giữa 3 biến WLOG ta giả sử $x \geqslant y \geqslant z$
BĐT đã cho tương đương với: $A=\sum \frac{3-xy}{\sqrt{2(3-xy)}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{6-2xy}{5-xy}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1-xy}{5-xy}\geq 0$
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có $A\geq (3-\sum xy)(\sum \frac{1}{5-xy})\geq 0$ do $\sum xy\leqslant \frac{(\sum x)^2}{3}=3$
Vậy ta có BĐT cần CM, dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-08-2018 - 23:14
- eLcouQTai và Francis Berdano thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh