Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn HSG khối 10, trường THPT chuyên ĐHSP,vòng 2, ngay21/2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
tungc3sp

tungc3sp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Chieu nay minh vua thi xong, khong lam duoc bai. Cac ban vao link nay de xem de nay:
http://dethi.violet....ntry_id/7078511
tungk45csp

#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10

NĂM HỌC 2011 - 2012

NGÀY THỨ 2


Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

Bài 3. Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 09-11-2017 - 23:01

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Dont Cry

Dont Cry

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Mình dÙng pp hàm số hơi dài 1 chút. $\sqrt{3-xy}\geq \sqrt{3- \dfrac{(z-3)^2}{4}} \geq ( \dfrac{1}{2} \sqrt{-z^2+6z+3}$
tới đây xét hàm số
$f(t)= \sqrt{-z^2+6z+3}- \dfrac{3 \sqrt{2}}{4} z $
rồi dÙng đạo hàm => $f(t)>= \dfrac{3 \sqrt{2}}{4}$
=> $f(a)+f(b)+f©>= \dfrac{9 \sqrt{2}{4}
chuyen sang cong lai la xong.

MOD : Lần sau vui lòng gõ tiếng Việt có dấu toàn bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 22-02-2012 - 22:13


#4
khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
Bài 1:

Đặt $P$=$\sqrt{3-xy}$ + $\sqrt{3-yz}$ + $\sqrt{3-zx}$

Theo BĐT AG-MG thì

$xy+yz+zx$ $\leq$ $\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$ + $\frac{y^{2}+z^{2}}{2}$ + $\frac{z^{2}+x^{2}}{2}$

$\Rightarrow$ $3\left ( xy+yz+zx \right )$ $\leq$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ + $2\left ( xy+yz+zx \right )$ = $\left ( x+y+z \right )^{2}$= $9$

$\Rightarrow$ $xy+yz+zx$ $\leq$ $3$

Mặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:

$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$

$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khong la gi ca: 22-11-2012 - 00:35

"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#5
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Mặt kháctheo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:

$P^{2}$ $\geq$ $\left (1^{2}+1^{2}+1^{2} \right )$$\left (3-xy+3-yz+3-zx \right )$ = $3\left ( 9-\left ( xy+yz+zx \right ) \right )$ $\geq$ $3(9-3)$= $18$

$\Rightarrow$ $P$ $\geq$ $3\sqrt{2}$

Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhé

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#6
khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Sai lè rồi bạn ơi. Xem lại nhé

Ọc sai thiệt. Cám ơn bạn nhé để mình xem lại... :(


Hy vọng bài 4 ko sai:

Gọi $A$, $B$ lần lượt là tập hợp các số ghi trên ô màu trắng và các số ghi trên ô màu đen.
$A$ $\cup$ $B$ = $\left \{1..64 \right \}$
$A$ $\cap$ $B$ = $\varnothing$
$\left | A \right |$ = $\left | B \right |$ = $ 32$

Không giảm tổng quát ta cho số $1$ thuộc tập $A$.
Giả sử rằng không tồn tại một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.
Khi đó thì $\forall x \in B$ : $\left | x - 1 \right | < 31$
$\Rightarrow$ $x < 32$.
Do đó ta phải có $B$ =$\left \{ 2,3,...,31 \right \}$ $\Rightarrow$ $\left | B \right |$ = $30$ (Vô lý).

Vậy nên tồn tại ít nhất một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số ghi trên đó không nhỏ hơn $31$.

"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#7
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
bị nguợc dấu rôì:P^2 phải nhỏ hơn

#8
Binzthepoet

Binzthepoet

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

cho em xin lời giải câu 2 với



#9
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 10

NĂM HỌC 2011 - 2012

NGÀY THỨ 2


Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

Bài 3. Cho $\bigtriangle ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$

 

Ai giải bất đẳng thức đi. Làm UTC mà không ra ._.



#10
nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Bài 1: Do vài trò đối xứng giữa 3 biến WLOG ta giả sử $x \geqslant y \geqslant z$

BĐT đã cho tương đương với: $A=\sum \frac{3-xy}{\sqrt{2(3-xy)}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{6-2xy}{5-xy}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1-xy}{5-xy}\geq 0$

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có $A\geq (3-\sum xy)(\sum \frac{1}{5-xy})\geq 0$ do $\sum xy\leqslant \frac{(\sum x)^2}{3}=3$

Vậy ta có BĐT cần CM, dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 28-08-2018 - 23:14





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh