Chủ đề này có 1 trả lời

[hungchu]

Tính nguyên hàm
$I = \int\frac{ln(x+1)dx}{x^2+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchu: 21-02-2012 - 22:18

[Crystal]

Tính nguyên hàm
$I = \int\frac{ln(x+1)dx}{x^2+1}$

Nguyên hàm này "khủng" lắm. Thêm cận cho nó nhẹ hơn tí.

\[\begin{aligned}
& I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx} \\
& x=\tan u\Rightarrow dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}u \right)du \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& u=\frac{\pi }{4} \\
& u=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( 1+\tan u \right)du\begin{matrix}
{} & (1) \\
\end{matrix}} \\
& v=\frac{\pi }{4}-u\Rightarrow dv=-du \\
& \left\{ \begin{aligned}
& u=\frac{\pi }{4} \\
& u=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& v=0 \\
& v=\frac{\pi }{4} \\
\end{aligned} \right. \\
& I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left[ 1+\tan \left( \frac{\pi }{4}-v \right) \right]dv}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left[ 1+\tan \left( \frac{\pi }{4}-u \right) \right]du}\begin{matrix}
{} & (2) \\
\end{matrix} \\
& \begin{aligned}(1),(2)\Rightarrow 2I&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left[ 1+\tan \left( \frac{\pi }{4}-u \right) \right]du}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( 1+\tan u \right)du}\\&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{ \ln \left[\left( 1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u} \right)\left( 1+\tan u \right) \right]du}\\&=\ln 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{du}\\&=\frac{\pi }{4}\ln 2\\\boxed{I=\dfrac{\pi }{8}\ln 2 }\end{aligned}
\end{aligned}\]

Theo phamtuankhai